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Matemática para Concursos– 1ª Parte

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Nestas séries serão abordados assuntos tais como: Descontos, Juros Simples, Porcentagem, Regra de Sociedade, Regra de três Composta, Regra de três Simples, Grandezas Inversamente Proporcionais, Números e Proporções, Sistema Legal de Medidas, Números Inteiros, Noções de Funções de primeiro e segundo grau, mais alguns temas que são abordados quase sempre na maioria das provas em concursos que são realizados em todo o Brasil. Você aprenderá definições e terá também auxílio de exemplos práticos para melhor  compreensão.

Conhecimentos Básicos de Matemática

 

O que é Matemática?

   Podemos dizer que é  difícil definir em poucas palavras o que é matemática, e toda definição não conseguirá expressar o grande complexo que é  o significado da matemática; porém podemos tentar dar uma noção: A principio a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (suas evidências e definições são independentes das outras ciências) que se baseia em: teoremas, e etc, para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. A matemática como uma expressão da mente humana, ativa os reflexos, o expressar da razão e o  grande desejo pela perfeição em números, pois 2+2 = 4 e não = 5. É também chamada por muitos estudiosos de linguagem universal ( a matemática é uma linguagem porque é formada por signos representativos e  linguísticos que passam idéias e significados). Pode ser dividida em matemática aplicada com seus elementos básicos e a matemática pura.

Para que serve a matemática?

É o método mais eficiente de racionalizar a natureza e seus complexos de sentidos. Em razão da matemática, conseguimos desvendar e resolver um número bem extenso de problemas de diversas áreas da Ciência. Vamos a alguns exemplos:

  1. Qual a curva que liga dois pontos fixos?
  2. Qual o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer?  
  3. Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrá-los?
  4. Quanto é 2+2? Isto mesmo sem a matemática, nem esta simples operação você conseguiria resolver com tamanha facilidade.

É realmente interessante a Ciência Matemática e seus poderes de resoluções..

Qual a importância da matemática na sociedade ?

   

Estamos cientes que, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem em nosso mundo. Como seríamos? Como poderíamos receber nosso salário? Ou mesmo fazer um simples cálculo de idade. Um pouco complicado, não ? Temos que admitir que estamos cercados por números! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação, em outras palavras : números. Esta é talvez a principal teoria da matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis à sociedade.

Agora que estamos cientes da importância da matemática no dia-a-dia das pessoas, na sociedade e vendo-a como um auxílio a soluções de problemas diversos nas Ciências, vamos ao estudo de alguns temas básicos.

 

Conjunto dos Números

Números Inteiros

O conjunto de números inteiros representados pela letra “Z”, é o conjunto dos números inteiros naturais acrescentados dos seus respectivos números opostos negativos. Podemos dizer que os números inteiros expressam em sua definição sentido de quantidade (os números inteiros positivos) e a “falta” de quantidade (os números inteiros negativos).

Assim os números inteiros são exemplos:

Z = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

-3        -2        -1         0         1         2         3

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

Temos ainda derivado dos números inteiros “Z”, o conjunto dos números inteiros sem o elemento “ 0”.

Z* = {-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,3,4,5,6,7,8,9,10}

Os números naturais são representados na matemática pela letra “N”. Através deste simples conjunto abaixo podemos fixar a idéia de números naturais:

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 20,21,22,23,24,25,26,27....}

Chegamos então à conclusão que como todos os números naturais “N”, são número inteiros “Z”, então dizemos que “N” é um subconjunto de “Z”, ou que N está contido em Z = NZ.

Números Racionais

Números racionais podem ser definidos como números que podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q).

Assim, quando dividimos um número inteiro, por exemplo, representado pela letra (b), por outro número inteiro representado pela letra (c), temos como resultado um número racional. Os números racionais são representados por uma porção inteira e uma porção fracionária.

Um exemplo simples:

Se b= 10 e c= 5, temos como resultado o número racional 2,0. Quando b=3 e c = 5, temos como resultado o número racional = 0,6. Ambos têm um número finito e limitado de casas após a vírgula e são definidos como números racionais de decimal exata.

É claro que existem casos de números de casas após a vírgula, que são infinitos, pois a divisão não é exata.

Um exemplo simples:

Se b=6 e c=9, temos como resultado o número racional de casa após a vírgula infinita 0,6666666... É o que chamamos e a matemática define como dizima periódica.

Consideramos então que os números racionais englobam todos os números inteiros e aqueles que ficam nos intervalos entre os números inteiros.

-3        -2        -1         0         1         2         3

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

                   0,8

                  

                  Numero racional

A letra que representa os Números Racionais = Q

Exemplo de números racionais Q = {-1-,2,-3,0,1,(1,5),(1,7),2,3}

O símbolo Q* é usado para determinar o conjunto dos números racionais sem o número “ 0”.

Q* = {-1,-2,-3,1,(1,5),(1,7)}

Números Irracionais

Números Irracionais é o conjunto dos números que não podem ser escritos na forma P/Q (P dividido por Q), como P e Q inteiros. Então quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente (dízima periódica), temos como resultado um número chamado e definido pela matemática como Irracional. Não podemos situar um número Irracional em uma reta de números.

Exemplos de Números Irracionais: Raiz quadrada do número 2, número 3, e etc.

Um número irracional famoso é o PI () = 3,141592...

O número de Euler = 2,71828

Numero Irracional na reta numérica: (Não podemos definir)

         -3        -2        -1         0         1         2         3   () = 3,141592... (???)

_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____

Números Reais

Números Reais é o conjunto de números formados pelos números irracionais e racionais, e é indicado pela letra “R”.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro, então, é racional e todo número racional é real, temos a seguinte sentença:

NZQR

Os Números Reais sem o elemento “ 0” são indicados pela letra R*, tornando-se o conjunto de números reais sem o número “ 0”, ou seja, R* = R-{0}.

Números Primos

Números primos são todos os números inteiros diferentes do número 1, que somente são divisíveis por 1 e por ele mesmo. Estes números têm grande importância na Aritmética.

Para os números inteiros podemos provar com facilidade que:

  1. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é considerado primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros yz, então também divide y ou z (ou então talvez ambos).
  2. Um número inteiro e positivo X, diferente de 1, é primo se não puder ser decomposto em fatores X=yz, nenhum deles sendo 1 ou -1.

Como podemos provar que um número é primo ou não?

Para comprovamos a primalidade de um número devemos ter em mente que com números pequenos a tarefa até que não é muito complicada, mas à medida que os números se tornam maiores, a comprovação de quem número é primo ou não, ou seja, comprovar sua primalidade pode se tornar muito complexo.

Teste Rápido:

Para os números primos pequenos, podemos usar o que chamamos de Crivo de Erastótenes, ou simplesmente a método da divisão por tentativa. Este método é seguro e é um dos melhores para os números pequenos. Porém, são extramemente demorados antes mesmo que os números atinjam 25 dígitos.

O método por tentativa, conforme exposto acima, é simples e podemos calcular se um número é primo.

Para determinar se certo número inteiro pequeno é primo, basta dividir por todos os números primos menores ou iguais à sua raiz quadrada.

Um exemplo simples :

Vamos saber se 323 é um número primo. A raiz quadrada de 323 é = 17,9722, então, vamos dividir 323 por 2,3,5,7,11 e 17. Caso nenhum destes primos dividirem 323, então este número será primo. Fazendo as divisões e os cálculos, verificamos que este número não é primo, pois é divisível por 17. Veja: 323÷2= 161, resto 1 | 323÷3=107, resto 2 |323÷5=64, resto 3 |323÷7=46, resto 1 | 323÷11=29, resto 4 | 323÷17= 19, resto 0

 Observe uma tabela com alguns números primos para consultas futuras, apenas 100 números, existem milhares de números primos.

TABELA CONSULTA PARA NÚMEROS PRIMOS

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

Jorge Alberto dos Santos.
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