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Matemática para Concursos– 2ª Parte

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste segundo tutorial será visto as operações fundamentais com números. Operações que parecem ser de simples resolução para alguns, porém para muitas pessoas o simples fato de somar ou dividir, é tarefa não muito fácil. Algumas pessoas têm as noções básicas das operações, no entanto, ainda cometem erros primários. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta .

Operações fundamentais com números

 

* Adição

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

Relembrar: 10 + 5 = 15

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então, ADIÇÃO.

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição.

Exemplo:

1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE
1 2 5 3
2 7 1 5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

Deduz-se :

  1. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma.
  2. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma.
  3. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.

A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:

5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

Deduz-se :

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

 

* Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto.

Relembrar: 9 – 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.

O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.      

Veja as análises abaixo:

  1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo.
  2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.

Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

  1. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
  2. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:
  3. 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6

    Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0

  4. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.
  5. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2)

A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.

Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2

7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

  1. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:
  2. a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

  3. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :
  4. (4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120

    A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação.

  5. A propriedade comutativa nos permite que seja usado:
  6. 1 . x = x ou x.1 = x

    É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

    Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.

  7. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação
  8. A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

* Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata

  1. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N
  2. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3
  3. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15
  4. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto.

A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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