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Matemática para Concursos– 6ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste sexto tutorial serão visto as questões das propriedades do MMC e MDC (ver tutorial n.º5 para conceitos), bem como serão colocados exercícios resolvidos para fixação de conteúdo. Serão acompanhadas as definições técnicas deste tema, e realizados vários exercícios já com suas respostas fornecidas para que a pessoa possa acompanhar passo-a-passo a aplicação de cada item. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Propriedades do Mínimo Múltiplas Comuns (MMC) e MDC

* Definição

Conforme definição no tutorial anterior, de n.º5, temos que um número natural (a) é múltiplo de outro número natural (b), caso exista outro número natural que o satisfaça (MMC). Também foi visto que se dois números inteiros que não sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os  conjuntos dos divisores destes números (MDC), tendo sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.

Assim temos as propriedades imediatas do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e do Máximo Divisor Comum (MDC) para aplicação de alguns casos e soluções.

* Propriedades

1) Se o MDC (b,c) = 1, então os números  b e c são denominados primos relativos ou somente primos entre si.

Exemplos:

MDC (25,36) = 1

Assim os números 25 e 36 são primos entre si, pois o MDC encontrado é igual a 1.

MDC (49,64) = 1

Desta forma os números 49 e 64 são primos entre si, pois o MDC encontrado é igual a 1.

2) MMC (b, n x b) =  n x b e MDC (b, n x b) = b

Exemplos:

MMC (20,40) = 40 e MDC (20,40) = 20

Pois 40 = 2 x 20

MMC (8,16) = 16 e MDC (8,16) = 8

Pois 16 = 2 x 8

3) MMC (a,b) x MDC (a,b) = a x b

Exemplos:

Dados os números 57 e 60 = 57 x 60 = 3420

MMC (57,60) x MDC (57,60) = 3420

Dados os números 19 e 88 = 19 x 88 = 1672

MMC (19,88) x MDC (19,88) = 1672

4) MMC (c, d) = w, então MMC (qc, qd) = qm # 0 (q#0)

Exemplos:

MMC (2,4) = 4

Então MMC (20,40) = 40 ( que é o cálculo de 4 x 10 )

MMC (8,12) = 24

Então MMC (80,120) = 240 (que é o cálculo de 24 x 10)

5) MDC (a,b) = d então MDC (qa, qb) = qd (q # 0)

Exemplos:

MDC (6,8) = 2

Então MDC (60,80) = 20 (que é o cálculo de 2 x 10)

MDC (5,15) = 5

Então MDC (50,150) = 50 (que é o cálculo de 5 x 10)

6) Dado dois números ou mais, se dois a dois, eles são primos entre si, o seu MMC será o produto deles.

Exemplos:

MMC (4,5,9) = 4 x 5 x 9 = 180

Pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si.

MMC (2,5,7) =  2 x  5 x  7 = 70

Pois 2,5 e 7 são, dois a dois, primos entre si.

7) Dados dois números e eles sendo consecutivos, estes são sempre primos entre si, ou seja, MDC(y, y + 1) = 1

Exemplos:

MDC (17,18) = 1

MDC (37,38) = 1

* Aplicabilidade do Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Item 1 – Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?

Solução do problema:

Calculando o MMC (4, 6 e 3 ) = 12

Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas.

Como a última eleição foi feita no ano de 2001, então temos: 2001 + 12 = 2013.

Assim somente no ano de 2013 haverá votação simultânea entre todos os cargos.

Item 2 – Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm  12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes estragados.

Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este encontro.

Solução do problema:

Calculando o MMC (12,16) = 48

O número 48 representa o número de dentes que deverá passar pelo ponto de origem para que se repita o encontro.

Fazemos então o seguinte cálculo 48 / 12 e 48 / 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas que a roda menor e a maior deverão fazer. Assim:

48 / 12 = 4    e     48 / 16 = 3

Seguindo o mesmo raciocínio de aplicabilidade para o MMC, pode se usar  o uso do MDC, apenas aplicando cada um segundo necessidade.

* Exercícios resolvidos

Para melhorar a fixação do conceito de MMC e MDC, segue alguns exercícios resolvidos, Acompanhe os cálculos passo-a-passo.

Exercícios

1) Determine o menor número positivo que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7.

Solução:

O menor número chamamos de MMC (5,6,7)

Fatore os números:

5, 6, 7    | 2

5, 3, 7    | 3

5, 1, 7    | 5

1, 1, 7    | 7

1, 1, 1

MMC (5,6,7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210

2) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

Solução:

Ser divisível por 4,8,12 é ser múltiplo. Desta forma procuramos o MMC

MMC (4,8,12) = 24

Fatore os números

4, 8, 12   |2

2, 4, 6     |2

1, 2, 3     |2

1, 1, 3     |3

1, 1, 1

Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo de 24 que tenha três algarismos.

Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48...   24 x 5 = 120

O menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, que deste modo é o número procurado.

3) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4. Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48.

Solução:

O maior divisor entre os números é chamado de MDC.

Calculando o MDC:

24, 36, 48         |2

12, 18, 24         |2

6,    9,  12         |3

2,    3,   4          |

MDC (24,36,48) = 2 x 2 x 3  = 12

4) Determine os menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo que se obtenham divisões exatas  com quocientes iguais.

Solução:

O quociente comum as duas divisões deverá ser o MDC(72, 120) que fazendo os cálculos é 24.

Temos: 72 / 24 = 3 e 120 / 24 = 5

Portanto: 72 / 3 = 24 e 120 / 5 = 24.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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