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Sobre este Tutorial

Autor: Jorge Alberto dos Santos
Data: 23-01-2006
Categoria: Concursos Públicos
Assunto: MATEMÁTICA PARA CONCURSOS
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E-mail: ntjorge@gmail.com
Site: www.temdinheiro.com.br
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Matemática para Concursos– 13ª Parte

 

Objetivos:

 

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - terceiro tutorial  serão tratados assuntos sobre equações do 1º grau, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

 

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

 

* Definição

 

É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.

 

Exemplos:

 

3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

 

3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

 

Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.

 

É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:

 

x = 2, veja:

 

3x – 4 = 2

 

3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2

 

y = 1, veja:

 

3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1

 

Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente

 

- Equação do 1º grau

 

Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:

 

ax + b = 0

 

Onde, tem-se:

 

a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)

 

Observe:

 

4x + 10 = 1

 

a = 4

 

b = 10 >> constantes (4,10)

 

3x – 6 = 0

 

a = 3

 

b = 6 >> constantes (3,6)

 

Exemplo de fixação:

 

x + 2 = 6 »

 

Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6.

 

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores:

 

ax + b = 0 » ax = - b

 

x = -b/a

 

Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.

 

Exemplo:

 

 x – 4 = 0 »  x –4 + 2 = 0 + 2 »  x = 4

 

2x = 4 »  3.2x = 3.4 »  x = 2

 

* Resolução de uma equação do 1º grau

 

Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.

 

Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.

 

Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:

 

a) Determine o valor do X:

 

4x – 12 = 8

 

4x = 8 + 12

 

4x = 20

 

x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

 

b) Qual o valor da incógnita x:

 

2 – 3.(2-4x) = 8

 

2 – 6 + 12x = 8

 

12x = 8  - 2 + 6

 

12x = 6 + 6

 

x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}

 

Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:

 

x + 5 = 10              5x – 3 = 28            3x + 12 = 4

 

2x – 4 = 0              10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)

 

Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre  é  colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão.

 

Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.

 

Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.

 

* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)

 

Observe:

 

a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:

 

x = -b/a

 

S = {-b/a}

 

a ≠ 0 >> b = 0, temos:

 

x = 0/a

 

S = {0}

 

Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)

 

b ≠ 0 >> x = -b/0

 

V = {0}

 

Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero  ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e  a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.

 

Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:

 

b = 0 >> 0x = 0 >> V = R

 

Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.

 

* Incógnita com valor negativo

 

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-).

 

Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.

 

Veja alguns exemplos:

 

a) 4x – 2 = 6x + 8

 

Reduzindo os termos:

 

4x – 6x = 8 + 2

 

-2x = 10

 

Verifique   que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1).

 

Assim, temos aos valores:

 

-2x = 10 .(-1)

 

2x = - 10

 

Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.

 

x = -10/2 >> x = -5

 

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

 

Observação:

 

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:

 

Observe:

 

2x + 4 = 8

 

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".

 

Veja o que acontece:

 

2x + 4 - 4 = 8 - 4

 

2x = 4

 

x = 2

 

V={2}

 

A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças.

 

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

 

Até a próxima.

 

 

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