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Matemática para Concursos– 14ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - quarto tutorial,  serão tratados assuntos sobre equações do 1º grau com duas variáveis, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos, também serão abordados mais exercícios resolvidos para melhorar o aprendizado.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIAVEIS

* Definição

É definido como equação do primeiro grau com duas variáveis sejam elas, x e y, a toda e qualquer equação que pode ser indicada nas formas:

ax + by = c

Sendo que: a e b, são números e diferentes de zero ( a e b ≠ 0 ), respectivamente.

Exemplos:

3x – 4y = 2 » os número “x” e “y” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.

3y + 4x = 7 » os número “y” e “x” que são desconhecidos recebem os termos de incógnita.

* Solução de equação do 1º grau com “duas” variáveis

As equações do primeiro grau que estejam na forma com duas variáveis, x e y, possuem infinitas soluções.

Estas soluções infinitas podem ser obtidas dando valores “soltos” para uma das variáveis, e em seguida efetua-se o cálculo da outra variável.

Encontrando estes valores de x e y, significa dizer que foi obtido o par ordenado de números x e y, o qual tornará a sentença ou o problema fornecido verdadeiro.

Exemplo de fixação:

a) 3x + 2y =  20

Como já informado esta equação tem infinitas soluções:

1) x = 2

3x + 2y = 20

3.2 + 2y = 20

2y = 20 – 6

2y = 14

y = 7

Assim, temos o par ordenado x e y (2 e 7).

Veja se a sentença é verdadeira:

3x + 2y = 20 (quando x = 2, y = 7)

3.2 + 2.7 = 20

6 + 14 = 20

20 = 20

b) 2x + 4y = 8

Agora tomaremos os valores de x e y respectivamente:

x = 2 e y = 6

2x + 4y = 8

2.2 + 4.6 = 8

4 + 24 = 8

28 ≠ 8

Desta forma, o par 2 e 6 não é a solução verdadeira para o a sentença acima.

* Linguagem textual para soluções de problemas

Para que se possam resolver problemas com equações do 1º grau, é preciso traduzir alguns enunciados para linguagem em moldes matemáticos.

Observe abaixo:

* Exercícios resolvidos de equações de 1º grau com “uma” e “duas” variáveis

01 – Em um sítio, entre ovelhas e cabritos, há 200 animais. Se o número de ovelhas é igual a 1/3 do número de cabritos, determine quantas são o número de ovelhas e quantos são o número de cabritos.

R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (ovelhas e cabritos).

Solução:

x = ovelhas

y = cabritos

Sabendo que x é igual 1/3 do total de 200 animais, temos o valor de ovelhas = 67 (valor arred.)

assim: x + y = 200

67 + y = 200

y = 200 – 67

y = 133 >> S = {67,133}

Existem, desta forma, 67 ovelhas e 133 cabritos, totalizando 200 animais.

02 – Em um quintal existem porcos, avestruz e galinhas, fazendo um total de 60 cabeças e 180 pés.

Quantos são os animais de duas patas e quantos são os de quatro patas?

R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (animais de duas patas e animais de quatro patas).

Solução:

x = animais de duas patas (avestruz e galinhas)

y = animais de quatro patas (porcos)

x + y = 60 >> x = 60 – y

Assim: animais de duas pernas 2x, e quatro pernas 4y, logo são observados.

2x + 4y = 180

2(60 – y) + 4y = 180

120 – 2y + 4y = 180

2y = 180 – 120

2y = 60 >> y = 30

x + y = 60

x + 30 = 60

x = 60 -30 >> x = 30     >> S = {30,30}

Existem, então, 30 animais de 02 pernas e 30 animais de 04 pernas.

03 – Determine  os valores da incógnita “x”, nas expressões abaixo:

a) 2x + 6 = 0

2x = -6

x = -6/2

x = -3 >> V = {-3}

b) 5x + 4 = 5 + 4x

5x – 4x = 5 – 4

x = 1 >> V = {1}

c) -10x + 6 = -18 + 2x

-10x – 2x = -18 – 6

-12x = -24 (.-1) , multiplicar por (-1), pois a variável x está com valor negativo

12x = 24

x = 24/12 >> x = 2 >> V = {2}

04 – A soma de dois números dados é 8 e a diferença entre estes mesmos números é igual a 4. Quais sãos os números?

R.: Este problema se trata de uma equação do 1º grau com duas variáveis (aplica-se aqui o estudo da linguagem textual).

x + y = 8

x – y = 4

x + x + y – y = 8 + 4

2x = 12

x = 12/2 >> x = 6

x – y = 4

6 – y = 4

-y = 4 – 6

-y = -2 (.-1) >> y = 2 >> S = {6,2}

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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