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Matemática para Concursos– 17ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - sétimo tutorial  serão tratados assuntos sobre sistemas lineares, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Sistemas Lineares

Definição

É todo sistema que pode ser definido em que  se têm “m” equações a “n” incógnitas do tipo a seguir:

Exemplos de fixação de definição

1) O sistema S1, informado abaixo, é um sistema linear com 3 equações e 3 variáveis de primeiro grau.

S1 =        2x + 4y –z = 4

              -2x + 3y + 4z = 7

              X + y + 5z = 9

2) O sistema S2, informado abaixo, é considerado um sistema linear com 04 equações e 3 variáveis.

S2 =        5x + 4y + z = 5

              -3x + 7y + 3y =6

              X + y + 4z = 8

              4x + 2y – 5z = 15

3) O sistema S3, informado abaixo, é considerado um sistema linear homogêneo com 3 equações e variáveis.

S3 =        2x + 5y – z = 0

              -3x + 2y + 2z = 0

              X + y + 5z = 0

Este sistema é considerado homogêneo porque todos os termos do sistema são nulos ou igual 0.

Soluções de um Sistema Linear

Podemos dizer que um sistema de equações  lineares com “n” incógnitas, que podem ser colocadas como X1, X2, X3, X4...., admite como sua solução uma seqüência em ordem definida como r1, r2, r3, r4, se e somente nesta condição, substituindo X1 = r1, X2 = r2, X3 = r3, X4, r4, Xn = rn, e em todas as equações do sistema informado, elas se tornarem todas verdadeiras.

- Exemplos de fixação de definição

Observe o sistema:

X + y = 12

X - y = 4

Temos aqui uma solução igual a (8, 4), pois se substituindo x = 8 e y = 4 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:

( 8 ) + ( 4 ) = 12     (afirmação verdadeira)

( 8 ) – ( 4 ) = 4       (afirmação verdadeira)

Observe o sistema abaixo:

X + y = 16

X – y = 2

Temos aqui uma solução igual a (7, 9), pois se substituindo x = 9 e y = 9 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:

( 7 ) + ( 9 ) = 16     (afirmação verdadeira)

( 7 ) – ( 9 ) = 2       (afirmação verdadeira)

Um outro exemplo de solução:

X + y = 42

X – y = 8

Temos aqui uma solução igual a (25, 17), pois se substituindo x = 25 e y = 17 em cada equação dada do sistema temos o cálculo:

( 25 ) + ( 17 ) = 42  (afirmação verdadeira)

( 25 ) – ( 17 ) = 8    (afirmação verdadeira)

Um sistema linear pode ter mais de uma solução ou mesmo pode não possuir nenhuma solução.

Tipos de sistema linear

Conforme as soluções os sistemas lineares podem ser definidos como:

- Uma única solução: Pode ser chamado de sistema linear determinado.

- Várias soluções: Pode ser chamado de sistema linear indeterminado.

Obs. Se ao buscar  o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo:

3 = 3 ou 0 = 0

Ou qualquer outra expressão que tenha uma sentença que seja sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções e poderemos chamá-lo de possível, mas indeterminado.

- Não tem solução: Pode ser chamado de sistema linear impossível

Obs. Se ao buscar  o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo:

0 = 3 ou 2 = 5

Ou qualquer outra expressão que tenha uma sentença que seja sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução e poderemos chamá-lo de impossível.

O conjunto solução de um sistema chamado de impossível é vazio.

Propriedades de um Sistema Linear

1) Um sistema linear chamado de homogêneo tem sempre pelo menos uma solução, pois :

X1 = 0

X2 = 0

X3 = 0, Xn = 0

Sempre terá todas as sentenças do sistema verdadeiras.

A solução (0,0,0,0....) é chamada de solução trivial.

2) Um sistema com n equações e n variáveis terá uma solução única (chamado de sistema determinado) se, e somente na condição de, que o determinante formado pelos coeficientes do sistema for diferente de zero (≠0).

Operações elementares com sistema linear

Existem 03 tipos de operações que podemos chamar de “elementares” e que podem ser feitas no cálculo de um sistema linear de equações, de forma que transforme este sistema em outro equivalente, porém mais simples.

Observe abaixo um exemplo de como trabalhar com estas operações elementares sobre linhas. O sistema que está à direta na tabela já é o resultado da ação de cálculo da operação elementar.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

3. Adição de duas equações do sistema

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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