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Matemática para Concursos– 18ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - oitavo tutorial  serão tratados assuntos sobre números e grandezas proporcionais, mais especificamente sobre formas de cálculos de divisão proporcional, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

DIVISÃO PROPORCIONAL

Definição

Conforme definições vista em tutoriais anteriores, em que é informado que GRANDEZA é todo valor que ao ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como conseqüência direta o outro valor também varia.

Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão  no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.

Exemplos para fixação de definição

Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que a+b=120, cuja solução segue de:

a/2 = b/3 à a + b = a+b/2+3 à 120/5 = 24

Então:   a=48 e b= 72.

Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma, será montado o sistema de modo que a + b = 60, cuja solução sugue no cálculo abaixo:

a/4 = b/2 à a + b = a + b/4+2 à 60/6 = 10

Então:   a=40 e b= 20.

A divisão proporcional pode ser:

- Direta

- Inversa

- Direta e Inversa ao mesmo tempo.

Divisão em partes diretamente proporcionais

O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcional está para a parte que a representa.

Exemplos de fixação de definição:

a) Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual o valor que cada um receberá?

Resolução:

2 + 4 + 6 = 12

12      :        12.000

2        :        X

12      :        12.000

4        :        X

12      :        12.000

6        :        X

O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 + R$ 4.000,00+R$ 6.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00.

 

b) Dividir o número 240, em partes diretamente proporcional a 2, 4 e 6.

Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 240

Pela definição dada, temos: x/2 = y/4 = z/6

x + y + z = 240

x/2 = y/4 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

x + y + z = 240 = 20

2 + 4 + 6 = 12  =  1

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporção encontrada.

20 = x   --> x . 1 = 20 . 2 à x = 40

1      2

20 = y   --> y . 1 = 20 . 4 à y = 80

1      4

20 = z   --> z . 1 = 20 . 6 à x = 120

1      6

Checando os resultados:

x + y + z = 240

40 + 80 + 120 = 240

c) Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6.

Resolução:

Chamaremos das incógnitas “x”, “y” e “z” as partes que serão determinadas, assim:

x + y + z = 360

Pela definição dada, temos: x/4 = y/5 = z/6

x + y + z = 360

x/4 = y/5 = z/6 (aplica-se a propriedade das proporções)

x + y + z = 360 = 24

4 + 5 + 6 = 15  =  1

Para determinar as partes, é necessário montar uma proporção para cada uma delas, com a proporção encontrada.

24 = x   --> x . 1 = 24 . 4 à x = 96

1      4

24 = y   --> y . 1 = 24 . 5 à y = 120

1      5

24 = z   --> z . 1 = 24 . 6 à z = 144

1      6

Checando os resultados:

x + y + z = 360

96 + 120 + 144 = 360

d) Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 1/2, 1/3, 1/4

Resolução:

Vale observar que agora estamos tratando de números fracionários.

Como os números quocientes são predeterminados são em frações, temos que determinar as frações equivalentes, assim:

m.m.c (2,3,4) = 12

1/2, 1/3, 1/4 à 6/12, 4/12, 3/12

Montando os cálculos:

x + y + z = 169

x/1/2 = y/1/3 = z/1/4

Com o mmc das frações:

x + y + z = 169

x/6 = y/4 = z/3

x + y + z = 169

6 + 4 + 3 = 13

Logo: 13/1 é a razão equivalente

Calculando as partes separadamente:

13/1        =        x/6

x . 1  =  6 . 13

x = 78

13/1        =        y/4

Y . 1 = 4 . 13

y = 52

13/1        =        z/3

Z . 1 = 3 . 13

z = 39

Checando os cálculos temos:

78 + 52 + 39 = 169

78/6 = 13

52/4 = 13

39/3 = 13

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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