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Matemática para Concursos– 23ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste vigésimo - terceiro tutorial serão tratados assuntos sobre cálculos com juros e demais componentes de cálculos financeiros, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

JUROS

Definição de Juros

Sendo o capital um dos fatores de produção, torna-se mais que justo que se tenha uma remuneração, esta é denominada de JUROS.

O juro é a premiação ou a retribuição do capital empregado. Sendo assim os juros representam de fato a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva, seja ela de qualquer fim. Os juros podem ser capitalizados da seguinte forma: simples ou composto, ou mesmo, empregados de forma mista.

Ainda falando sobre definição de juros é a remuneração pelo empréstimo de algum dinheiro. Os juros existem porque a grande maioria das pessoas prefere o consumo imediato de um bem, e está disposta a pagar um preço maior por isto. Em contrapartida, a pessoa que tiver a capacidade de esperar o tempo necessário para auferir a quantia necessária para comprar o determinado item, e neste entretempo estiver disposta a emprestar esta quantia com paciência reduzida, será recompensado por esta operação na proporção do tempo e risco de receber de volta o capital. A equação tempoxriscoxquantidade de dinheiro disponível no mercado financeiro é que define o que é tão conhecida como taxa de juros.

Para checar quanto o capital rende, é indispensável que se conheça os elementos necessários que compõem estes cálculos financeiros e também a forma de aplicação.

Estes elementos são:

o capital, taxa, juros e tempo.

Mais antes veja a definição de capital, para que se tenha uma definição e compreensão melhor em soluções de problemas.

Definição de Capital

O capital pode ser definido como o valor aplicado através de alguma operação tipicamente financeira e também é muito conhecido como: Valor principal, Valor atual, Valor Aplicado, Valor presente.

O que é taxa

Denomina-se taxa aos juros relativos a 100 unidades monetárias por UNIDADE DE TEMPO. Exprime-se sob a forma de porcentagem acrescentando-se a unidade de tempo.

Exemplos:

- Taxa de 7% ao ano, ou 7 % a.a

- Taxa de 52% ao ano, ou 52% a.a

Isto significa dizer que para cada R$ 100 reais emprestados receberemos R$ 7,00 de juros no caso de 7% a.a, e no caso de 52% a.a, para cada R$ 100,00 emprestados a pessoa/ instituição receberá R$ 52,00 de juros.

Os tipos de Juros: Simples e Composto

- Juros Simples

O sistema de cálculo de juros simples será empregado quando o percentual (%) de juros incidirem apenas sobre o valor principal do dinheiro. Sobre o valor dos juros gerados em cada período de tempo não incidirão novos juros.

.

O que chamamos de Valor Principal ou simplesmente Principal é o valor financeiro inicial emprestado ou aplicado, antes de fazer a soma aos juros auferidos no período.

É possível ter também como parâmetro de definição de juros simples aquele que se admite que os juros sejam diretamente proporcionais ao tempo da operação em questão.

Como de fato os juros são a variação entre o capita (valor principal) e o montante esta, deve ocorrer ao longo do tempo, o valor dos juros deve sempre estar associado ao período do tempo que foi necessário para gerar este valor de juros.

Transformando toda esta definição em fórmula:

J =  P.i.n

Onde:

J = Juros

P = Principal (capital)

I = Taxa de juros

N = Número de período

Exemplos de fixação Juros Simples

a) Um funcionário tem uma dívida de R$ 500,00 que de ser paga com juros de 6% a.m pelo sistema de juros simples e este deve fazer o pagamento em 03 meses.

Aplicando a fórmula de juros simples

J =  P.i.n

Substituindo valores :

J = 500 x 0,06 x 3 = R$ 90,00

O montante total será de R$ 590,00

Ou seja,

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos)

Assim sendo, a fórmula do montante é :

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

b) Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 60.000,00 à taxa de 9,5% a.a durante 120 dias.

Aplicando a fórmula de montante

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Substituindo os valores:

M = 60.000 x [1 + (9,5/100).(120/360)] = R$ 61.896,00

Vale observar que é expresso a taxa “i” e o período “n”, na mesma unidade de tempo (anos). Por tanto é preciso dividir 120/360, para se obter o valor equivalente em anos, levando-se em consideração que o ano comercial são 360 dias.

Exercícios de fixação Juros Simples

No tópico anterior, vimos apenas exemplos práticos de uso das fórmulas, agora serão vistos exercícios com as respectivas respostas e algumas ocasiões de aplicações.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1.500,00 a 13 % a.a. por 2 anos..

Escrevendo a fórmula

J =  P.i.n

j = 1.500 x 0,13 x 2 = R$ 390,00

2) Calcular os juros simples produzidos por R$20.000,00, aplicados à taxa de 32% a.a., durante 155 dias.

Escrevendo a fórmula

J =  P.i.n

Calculando o tempo da taxa = 32% a.a equivale a 32%/360 dias = 0,088 a.d

Desta forma como a taxa e o período estão convertidos à mesma unidade de tempo (dias), podemos usar a fórmula e efetuar o cálculo diretamente:

J = 20.000 x 0,088 x 155 = R$ 2.728,00

3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,5% a.m. rende R$2.600,00 de juros em 90 dias?

Escrevendo a fórmula

J =  P.i.n

Temos imediatamente: J = P.i.n, ou seja: 2.600 = P.(1,5/100).(90/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Assim:

2.600 = P. 0,015 . 3 = P . 0,045

Na sequência, temos:

P = 2.600 / 0,045 = R$ 57.777,77

4) Se a taxa de uma aplicação é de 130% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Escrevendo a fórmula de Juros para Fixação

J =  P.i.n

(não será usada neste exercício)

Escrevendo a fórmula de Montante para Fixação

M = P (1 + i.n)

Objetivo final: M = 2.P

Dados do problema: i = 130/100 = 1,3

Resolução:

2P = P (1 + 1,3 n)

2 = 1 + 1,3. n

n  =0, 869, arredondado = 8 meses

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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