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Matemática para Concursos– 32ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre fatoração, continuando o tema visto no artigo anterior. Também serão abordados cálculos matemáticos e exercícios sobre o tema, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Radiciação

* Definição

O termo radiciação pode ser entendido como uma operação que têm por fim, fornecida uma potência de um número e o seu grau, possa determinar esse número.

Este tutorial fica um pouco mais prático, pois como já estudamos em tutoriais anteriores sobre potências, caso não tenha estudado sugiro que revise. A radiciação resumindo e sendo objetivo é inverso da potenciação.

Exemplo, quando elevamos um determinado número X à sexta potência e depois em uma operação de extração de raiz na sexta potência, temos como resultado o número X.

- Exemplos para fixação de conteúdo

1) Ache a raiz cúbica do número 27 (3√27). Devemos nos perguntar qual o número que multiplicado por ele mesmo três vezes resulta o número 27, ou seja, determinar qual o número que elevado na potência 3 resultado o número 27 ?

Resposta:

É o número 3 , pois sendo: 33 = 3 x 3 x 3 = 27

2) Ache a raiz cúbica do número 64 (3√64), devemos nos perguntar qual o número que multiplicado por ele mesmo três vezes resulta o número 64, ou seja, determinar qual o número que elevado na potência 3 resultado o número 64 ?

Resposta:

É o número 4 , pois sendo: 43 = 4 x 4 x 4 = 64

Observe os termos da radiciação:

Onde :

n = representa o termo da radiciação chamado Radical.

 

X = representa o termo da radiciação chamado de radicando

Revisando definição:

Temos que radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Observe abaixo :

Definição

Em  termos mais precisos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro positivo n denominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo Raiz enésima de a, tal que b elevado a n seja igual a a.

* Símbolo da Radiciação

Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical.

Obs.importante: Como o Word é limitado na questão deste símbolo de radiciação, iremos adotar nos cálculos e exemplos dados apenas o enunciado. Lembrando sempre que quando nos referimos a um número elevado a 2 ou 3 ou 4 etc., ele é radical do símbolo acima.

- Para facilitar os cálculos com radiciação

* Raiz quadrada

A raiz quadra de um número inteiro é o outro número que, se elevado ao quadrado, reproduz o número dado.

Desta forma:

Raiz quadrada do número 16 é = +/- 4, pois (+4)2 = 16 e (-4)2 = 16

Raiz quadrada do número 49 é = +/- 7, pois (+7)2 = 49 e (-7)2 = 49

Vale lembrar que na maioria dos casos desta operação de raiz quadrada de números inteiros, usamos somente o valor positivo da operação.

A raiz quadrada de números formados por 1 e 2 algarismos, sendo eles quadrados perfeitos o cálculo é feito mentalmente.

Veja:

- 64 é quadrado perfeito, pois seu quadrado é 8.

- 100 é quadrado perfeito, pois seu quadrado é 10.

* Relação dos quadrados perfeitos de 1 a 100

Obs. Importante: Todo número terminado em 2, 3, 7 e 8 ou em número ímpar de zeros não pode ser quadrado perfeito e sua raiz é um número racional.

Observando a relação acima apresentada é observado que os quadrados dos primeiros nove números terminam em:

1,4,5,6 ou 9

Desta forma como o quadrado de um número qualquer termina sempre pelo algarismo das unidades do quadrado do algarismo de suas unidades simples. É fato concluir que só podem ser chamados de quadrados perfeitos os números que terminam com 1,4,5,6,9 ou em números que sejam pares de zeros.

* Raiz quadra de frações Ordinárias

Para se efetuar os cálculos de uma fração ordinária, extraem-se as raízes quadradas dos dois termos de fração, e assim aplica-se a mesma regra dos números inteiros.

Observe os exemplos:


1) Raiz quadrada da fração 36  = Raiz quadra de 36 = 6, Raiz quadrada de 49 = 7
                                            49

Desta forma: 6/7

2) Raiz quadrada da fração 16  = Raiz quadra de 16 = 4, Raiz quadra de 144 = 12
                                                         144

Desta forma: 4/12

* Observações iniciais importantes

- O símbolo <=> em qualquer problema  indica se e somente se. Isto é, se a expressão antes desse símbolo é verdadeira então a segunda também é, e assim sendo vice-versa.

- Radical como falado anteriormente guarde bem, pois este é o símbolo  de raiz ou sinal de raiz ou tão somente radical;

- Radical, além de ser o símbolo acima indicado, é também, por extensão, a raiz de um número relativo ou de uma expressão algébrica.

- A raiz de índice número 1 (n = 1) de x é o próprio número x

- A raiz de índice número 2 (n = 2) de x é denominada de raiz quadrada (como falado em tópico acima) de x.

- A raiz de índice número 3 (n = 3) de x é denominada de raiz cúbica de x.

- O valor encontrado da raiz enésima de x nem sempre pode ser um número racional (inteiro ou fracionário), uma vez que nem sempre x é uma potência de grau n, n inteiro, de b (exemplo prático: raiz quadrada de 2)

- A operação de extração da raiz enésima de x é o cálculo dessa raiz.

- Nos casos acima é possível representar a raiz como uma potência de expoente fracionário. (Exemplo prático: a raiz quadrada de 2 é representada como 21/2)

- No cálculo dos radicais, conjunto de operações com números irracionais e com expressões algébricas, é considerado sempre apenas o seu valor aritmético, ou seja, seu valor positivo. Os valores positivos e negativos, quando é o caso, são adotados em outros cálculos de matemática.

- Como ilustrado anteriormente, as raízes de índice par tem mais de um valor como resultado (por exemplo: as raízes quadrada de 16 são 4 ou -4, pois tanto 42 como (-4)2 é igual a 16).

- O valor aritmético ou valor absoluto de um radical é o valor positivo desse radical (exemplo: o valor aritmético da raiz quadrada de 9 é +3, embora -3 também satisfaça a definição).

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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