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Matemática para Concursos– 34ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre dízimas periódicas, representações fracionárias e exercícios para fixação de conteúdo.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Representação Fracionária e Dizimas Periódicas

* Definição

Já vimos em tutoriais anteriores que denomina-se fração “representação fracionária” a expressão de um número racional do tipo:

a / b  ou a

              b

Então, observe que dados dois números inteiros chamados de a e b com o número b sendo diferente de zero (b#0), a fração então é composta da seguinte forma:

X = a/b, tal fato que x x b = a, sendo

X = a/b --à x . b = a

Exemplos de representação fracionária:

a) 5/3

b) 3/4

c) 1/7

d) 2/8

* Representação décima de um número racional

A representação decimal de um número racional poderá resultar em um dos casos abaixo:

- Fração Aparente

16/8 = 2

10/10 = 1

0/14 = 0

Neste caso a fração corresponde a um número inteiro, no caso (2,1,0).

- Fração Decimal Finita

5/4 = 1,25

3/8 = 0,375

No caso acima é existente sempre uma quantidade finita de casas decimais.

* Dízimas Periódicas

Dizima periódica pode ser compreendida como uma representação decimal ou fração onde ocorre uma seqüência finita de algarismos que se repete indefinidamente.

A esta seqüência chamamos de período.

Ex.:

5/9 = 0,555

7/3 = 2,333

4/33 = 0,1212

Para se efetuar o cálculo acima basta dividir o numerador pelo denominador, então se obterá o valor da fração. O que se encontra em destaque “cor vermelha” é chamado de período.

- Classificação de dízimas periódicas

As dizimas periódicas podem ser  dividas em:

Simples:

São aquelas em que o período se apresenta logo depois da vírgula.

Observe:

35/37 = 0,945945945945945

25/27 = 0,925925925925925

4/33 = 0,1212121212121212

Nas frações acima, temos:

Períodos: 945945945945945 / 925925925925925 / 1212121212121212, respectivamente

Parte não periódica: 0

Compostas:

São consideradas dízimas periódicas compostas todas que entre o período e a vírgula existe uma parte que são seja periódicas.

Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.

Exemplos:

0,7333333333

0,7244444444

0,5166666666

Parte não periódica: 7, 72 e 51 respectivamente.

Período: 3333333, 4444444, 666666   respectivamente.

* Formação de uma fração geratriz

Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.

Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.

- Como determinar uma fração geratriz

Analise os dois casos abaixo:

1) Números com expansão décima finita

A quantidade total de números após a vírgula resultará o número exato de “zeros” do denominador da fração.

Veja:

7,16 = 716/100

32,4 = 324/10

55,7 = 557/10

0,025 = 0025/1000 = 25/1000

0,12 = 012/100 = 12/100

2) Dízimas periódicas

Dados x,y,z...mnnn...uma dízima periódica o qual os primeiros algarismos, indicados de forma geral por x,y,z,m não constituem o período nnn.

A fração:

xyz...mn – xy...n / 99...900...0

será uma fração geratriz da dízima periódica  x,y,z...mnnn... nas seguintes situações:

1) O número de “noves” no denominador for igual à quantidade de algarismos no período.

2) Existir um “zero” no denominador para cada algarismo “aperiódico” (x,y,z...n) depois da vírgula.

Exemplos:

1) 7,21717171717....

Período: 17 (dois noves depois no denominador)

Atraso de uma casa (1 “zero” no denominador)

Parte não periódica “aperiódica” = 72

Formação fração geratriz:

7217 – 72 / 990 = 7145 / 990

7145 = 7,217171717171...

990

2) 0,15383383383383383...

Período: 383 (três noves depois no denominador)

Atraso de duas casas (2 “zeros” no denominador)

Parte não periódica = 15

Formação fração geratriz:

15383 – 15 / 99900 = 15368 / 99900

15368 = 0,15383383383383...

99900

* Exercícios resolvidos sobre dízimas periódicas

1) Qual a fração geratriz da dízima periódica 8,035035035035

Período: 035 (três noves no denominador)

Parte não periódica: 8

Não houve atraso do período, por tanto não haverá “zeros” no denominador.
Assim:

8035 – 8 / 999

8027 / 999

8027 = 8,035035035...

999

2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 6,25252525

Período: 25 (dois noves no denominador)

Parte não periódica: 6

Não houve atraso do período, por tanto não haverá “zeros” no denominador.

Assim:

625 – 6/ 99

619 / 99

619 = 6,2525252525...

99

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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