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Matemática para Concursos– 36ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre razões, proporções e exercícios práticos resolvidos, bem como exemplos para fixação de conteúdo.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

RAZÕES, PROPORÇÕES E ESCALAS EM NÍVEL II

* Definição

Em tutoriais anteriores, foi visto que a razão de dois números, quando dados certa ordem e sendo o segundo número diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo.

A palavra razão, tem origem latina “latim” e tem como significado “dividir, divisão”.

Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um carro de kart com 3 m de comprimento. Para se fazer a comparação entre as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo:

3/2 = 1,5 (Nota-se que o carro de corrida é 2 x o tamanho do carro de kart).

É possível, ainda, constatar que o carro de kart possui a metade (1/2) do tamanho do outro carro.

E como informado acima, a comparação entre dois números racionais, feitas através de uma divisão, dá-se  o nome de razão.

Uma razão pode ser representada também da seguinte forma ---> a:b

No exemplo acima --> 1:5

Na definição acima os termos são:

a = chamado de antecedente

b = chamado de conseqüente

Ao representar uma razão, frequentemente simplificamos os seus termos procurando, na maior parte dos casos, torná-los inteiros.

* Exercícios para fixação de conteúdo

a) A razão entre 0,20 e 2 é :

Resolução:

0,20/2 = (1/5)/2 =

(1/5) x (1/2) = 1/10

1/10 é o mesmo que 1 para 10

b) A razão entre 1/3 e 4/7 é:

Resolução:

(1/3)/(4/7) =

1/3 x 7/4 =

7/12

7/12 é o mesmo que 7 para 12

c) A razão entre 6 e 1/4 é:

Resolução:

(6) / (1/4) =

6 x 4/1 = 24/1 = 24

24/1 é o mesmo que 24 para 1

* Proporção

Pode-se chamar de proporção a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões.

A proporção a/b = c/d pode ser lida assim:

“a está para b” assim como “c está para d” é representada como ---à a: b : : c: d

Os termos nestas proporções são:

"a" e "d" são os extremos

“b” e “c” são meios

- Propriedade fundamental

- Quarta proporcional

A quarta proporcional de três números dados, sendo eles a, b e c na ordem dada, é o número x que completa com os outros  três uma proporção, tal qual :

a/b = c/x

Veja os exemplos:

Determine a quarta proporcional dos números 2,5 e 6 nesta ordem.

Solução:

(2/5) = (6/x)

2x = 6 x 5

2x = 30

x = 15

* Tipos de proporções

- Proporção contínua

A proporção contínua é aquela que tem meios iguais.

Exemplos:

a) 5:7 : : 4:7 é chamada de contínua, pois os seus meios são iguais a 7.

b)  4:3 : : 5:3 é chamada de contínua, pois os seus meios são iguais a 3.

Em uma proporção contínua temos o seguinte:

1. O último termo é denominado de terceira proporcional.

Observe: 20:10 : : 10:5 (neste caso 5 é a terceira proporcional dos números 20 e 10)

2. O valor comum dos meios é chamado de média proporcional ou média geométrica dos termos extremos.

Observe: 2 é a média proporcional entre 12 e 24, pois :

12: 2 : : 2 : 24

- Proporção múltipla

Razão múltipla é a igualdade simultânea entre três ou mais razões dadas no problema.

Exemplos:

(2/4) = (3/5) = (5/7) = (1/3)

(2/4) = (3/5) = (5/7) = (1/3)

* Escala

Escala é a razão constante entre qualquer medida de comprimento em um desenho e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho, ambas tomadas na mesma unidade de medida.

Escala = medida de comprimento no desenho / medida de comprimento no objeto real

* Exercícios resolvidos para prática

a) Em uma prova com 40 questões, um candidato acertou 25, deixando 5 em branco e errando as demais.

Qual é a razão do número de questões certas para o de questões erradas ?

Resolução:

Do total de 40 questões, 25 estavam certas e 5 em branco.

Assim, o número de questões erradas é: 40 – 25 – 5 = 10

Montando, a razão do número de questões certas (40) para os de questões erradas (10) é a seguinte:

40/10 = 4/1 ou 4 para 1

b) Calcular dois números positivos na proporção de 3 para 5, sabendo que a diferença do maior para o menor é 27.

Resolução:

Sejam “a” o menor e “b” o maior dos números procurados.

A proporção nos mostra que “a” está para 3 assim como “b” está para 5.

Então, é possível que :

“a” tem 2 partes .............................(a = 2p)

“b” tem 5 partes .............................(b = 5p)

Porém:

A diferença entre b-a é igual a 27, temos :

5p – 2p = 27

3p = 27

P = 27/3

P = 9

Como sabemos, depois de feito os cálculos cada parte vale 9 (p = 9), é possível concluir que :

O valor de “a” é --> a = 2p -> a = 2.9 = 18

O valor de “b” é --> b = 5p -> b = 5.9 = 45

Provando os cálculos: 45 – 18 = 27

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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