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Matemática para Concursos– 43ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre equações do segundo grau, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Equações do 2º grau – Parte III

* Definição

Como informado em tutoriais anteriores, denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:

Onde : a, b, c pertence a R, com a ≠ 0

* Relações entre os coeficientes e as raízes da equação do 2º grau.

Considerando que a equação ax2 + bx + c = 0 e supondo delta maior ou igual a 0, casos estes que existem raízes reais x’ e x”, diferentes ou iguais. Desta forma entre as raízes x’ e x’ e os coeficientes a,b, c desta equação, estabelecemos as seguintes relações:

a) 1ª Relação

A soma das raízes

Se  for maior ou igual a, temos:

Adicionando membro a membro 1 e 2, temos a seguinte fórmula.

Logo a soma das raízes é igual a:

Observação:

Se a = 1, estas relações podem ser escritas:

x’ + x” = -b/1 ---> x’ + x” = -b

x’ . x” = c/1 ----> x’ . x” = c

* Exemplo para fixação de conteúdo

Resolva a equação x/x+1 + 3/x -2 = 1/2, U = R – {-1,2}

x/x + 1 + 3/x – 2 = 1/2 ----> x(x – 2) + 3(x + 1) = 1/2

                                            (x + 1). (x – 2)

-> 2x(x – 2) + 6(x + 1) = (x + 1).(x – 2)

         2(x + 1).(x – 2)     2(x + 1).(x – 2)

-> 2x2 – 4x + 6x + 6 = x2 – x – 2

-> 2x2  + 2x + 6 – x2 + x + 2 = 0

-> x2 + 3x + 8 = 0

a = 1

b = 3

c = 8

Discriminante:

= b2 – 4ac

= 32 – 4.(1).(8)

= 9 -32

= -23 < 0

Como  < 0, a equação não tem raízes reais.

S = ø

2ª relação: Produto das raízes

Se é maior ou igual, temos:

Multiplicando membro a membro de x’ e x”, ou sentença de  x’ com x”, temos o seguinte processo:

* Exemplo para fixação de conteúdo

Dada a equação 3x2 – 10x + 3 = 0, temos  :

- Soma das raízes

x’ + x” = -b/a --->

x’ + x” = -(-10) = 10

                3         3

-  Produto das raízes

x’.x” = c/a -->

x’.x” = 3/3 = 1

S = {1 , 10}

               3

* Exercícios resolvidos

1) Determine o valor de “m” na equação (m + 2)x2 – 3x + 2 = 0, de modo que a soma das raízes da equação seja igual a 1/4.

Resolução:

Pela relação:

x’ . x” = -(-3) = 3/m + 2 --> (1)

            m+2

Pelo problema:

x’ + x” = 1/4 ---> (2)

Fazendo a comparação de (1) e (2), temos:

3 / m + 2 = 1/4

---> 1(m + 2) = 3 x 4

---> m + 2 = 12

---> m = 12 – 2

---> m = 10

Resposta: m = 10

2) Qual deve ser o valor de “p” na equação 3x2  -x + p – 1 = 0, de modo que o produto de suas raízes seja igual a ½ ?

Resolução:

Pela relação:

x’ . x” = c/a ---> p – 1   ---à (1)

                           3

Pelo problema:

x’ .  x” = ½ ----> (2)

Comparando (1) e (2), temos:

p – 1 = ½ --> 2(p – 1) = 3 . 1 ---->

  3

2p – 2 = 3

2p = 3 + 2

2p = 5

P = 5/2

Resposta: p = 5/2

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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