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Matemática para Concursos– 16ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste décimo - sexto tutorial  serão tratados assuntos sobre produtos notáveis, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

PRODUTOS NOTÁVEIS

* Definição

O cálculo algébrico é uma verdadeira ferramenta de apoio para a álgebra e para o assunto de geometria.

Será estudado neste tutorial especialmente um produto de extrema importância para que se possa efetuar cálculos algébricos com melhor precisão e segurança, pois é usado com muita freqüência em questões que abordam o cálculo de álgebra.

Esses produtos que serão estudados são os chamados produtos notáveis. Pode ser definido como um resultado de uma multiplicação e o termo notável é colocado por ser um algo importante, algo que se destaca algo que é notado.

* Primeiro produto notável

Observe a figura acima, o qual o lado mede a.

Veja que área do objeto é: Área: a²

Agora vê-se a figura abaixo:

É possível ter outras maneiras de se efetuar os cálculos desse quadrado, que pode ser feito somando as áreas de cada uma das figuras que o formam.

Observe que se têm duas figuras de um quadrado, cujos lados são a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujo tamanho podem ser definidos por a e b.

Desta forma,  é possível efetuar o cálculo da área do quadrado acima usando a forma de cálculo de álgebra. Observe:

(a + b)² = (a+b) . (a+b)

Elevar ao quadrado os termos é mesmo que multiplicar dois fatores iguais dos mesmos dados fornecidos.

(a + b) . (a + b ) = a² + ab + ba + b² =

É possível aplicar a propriedade distributiva da operação multiplicação. Esta propriedade já foi ensinada em tutoriais anteriores.

= a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Efetuam-se os termos semelhantes.

Temos então:

 

O termo obtido acima, chama-se trinômio.

Neste caso ele é denominado trinômio quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado dos termos (a +  b).

* Reveja o produto novamente

Quadrado da soma: ( a+ b )² =

Trinômio quadrado perfeito = a² + 2ab + b²

(a + b ) ² = a² + 2ab + b²

Onde:

a = 1º termo

b = 2º termo

a² = quadrado do primeiro termo

2ab = duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo

b² = quadrado do segundo termo

Assim, o primeiro produto notável pode ser definido como:

* Exemplos de fixação

a) Calcule os termos (2 + 3) ²:

O cálculo pode ser feito de duas formas:

(3 + 4 ) ² = 7² = 49

(3 + 4) ² = 3² + 2.3.4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49

Desta forma, é encontrado o caminho do resultado em duas formas diferentes de se efetuar os cálculos.

Nota-se neste simples exemplo, que não faz sentido nenhum usar a conclusão do produto notável, pois, como os termos da soma são números, é possível encontrar o resultado diretamente, somando os respectivos termos e os elevando ao quadrado.

Para o caso de uma soma algébrica, fica impossível efetuar a adição, e então é preciso usar a regra de produto notável.

b) Calculo os termos (5 + 4 ) ²:

Calculando das duas formas:

(5 + 4 ) ² = 9² = 81

(5 + 4) ² = 5² + 2.5.4 + 4²  = 25 + 40 + 16 = 81

c) ( x + 2 ) ²

Usando a regra de produto notável:

x² + 2.x.2 + 2²

x² + 4x + 4

d) (4x + 4) ²

Usando a regra de produto notável:

(4x) ² + 2.4x.4 + 4²

16x² + 32x + 16

e) (a + 4b) ²

Usando as regras de produto notável:

(a)² + 2.a.4b + 4b²

a² + 2.a.8b + 16b²

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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