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Matemática para Concursos– 19ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste nono - oitavo tutorial  serão tratados assuntos sobre números e grandezas proporcionais, mais especificamente sobre formas de cálculos de divisão inversamente proporcional, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

DIVISÃO PROPORCIONAL - CONTINUAÇÃO

Definição

Conforme definições vista em tutoriais anteriores, em que é informado que GRANDEZA é todo valor que ao ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como conseqüência direta o outro valor também varia.

Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão  no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação.

Veremos nesta 19ª parte, a seqüência do assunto abordando anteriormente, será visto agora os cálculos de divisão inversamente proporcional.

Divisão Proporcional

A divisão proporcional pode ser:

- Direta

- Inversa

- Direta e Inversa ao mesmo tempo.

Divisão Inversamente Proporcional

Para decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em duas partes X e Y diretamente proporcionais a 1/x e 1/y, que formam, desta forma, os números inversos.

Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. Assim, por exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a 1/4 e 2/3 equivale a dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e 3/2.

Exemplos para fixação de definição

a) Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3,5 e 6.

Solução:

x + y + z = 441

x/1/3 = y/1/5 = z/1/6

Determinando as frações equivalentes

mmc (3,5,6) = 30

1/3, 1/5, 1/6 = 10/30, 6/30, 5/30

Montando o sistema temos:

x + y + z = 441

x/10 = y/6 = z/5

Aplicando a 3ª propriedade das proporções

x + y + z/10+6+5= x/10 = y/6 = z/5

441/21 = 21

Calculando as partes têm-se o resultado:

21/1 = x/10 à x. 1 = 21.10 à x = 210

21/1 = y/6 à y.1 = 21.6 à y = 126

21/1 = z/5 à z.1 = 21.5 à z = 105

Verificação de resultados:

210 + 126 + 105 = 441

210/10 = 21

126/6 = 21

105/5 = 21

b) Dividir o número 676 em partes inversamente proporcionais a 5, 0,5 e 1/3.

Solução:

x + y + z = 676

Obs. 0,5 = 5/10 = ½

x/1/5 = y/2/1 = z/3/1

Determinação das frações equivalentes

mmc (5,1,1) = 5

1/5, 2/1, 3/1 à 1/5, 10/5, 15/5

Montando o sistema:

x + y + z = 676

x/1 = y/10 = z/15

Aplicando a 3ª propriedade das proporções

x + y + z    = x/1 = y/10 = z/15

1 + 10 + 15

676/26 = 26

Calculando as partes:

26/1 = x/1 à x.1 = 26.1 à x = 26

26/1 = y/10 à y.1 = 26.10 à y = 260

26/1 = z/15 à z.1 = 26.15 à z = 390

Verificação de resultados:

26 + 260 + 390 = 676

26/1 = 26

260/10 = 26

390/15 = 26

Divisão Inversamente Proporcional em Várias partes

Para dividir um número Z em várias partes “n” X1, X2, X3...Xn, que sejam inversamente proporcionais a p1, p2, p3, ... Pn, basta dividir este certo número Z em várias partes “n” X1, X2, X3,...Xn, diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, 1/p3... 1/pn.

Para montar o sistema de “n” equações e “n” incógnitas, temos que colocar os problemas assumindo que:

A solução do problema acima, segue as propriedades das proporções, que já foram estudados em tutoriais anteriores, qual seja:

Exercícios para fixação de conteúdo

Como foi visto informado anteriormente a divisão proporcional e neste tutorial foi visto a divisão inversamente proporcional, resolva as questões abaixo, procurando não olhar a resposta:

a) Diga se o problema é diretamente ou inversamente proporcional

- Número de pessoas em uma festa e a quantidade de salgados que cada um poderá consumir.

Resposta: Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o número de pessoas da festa, consequentemente diminuirá o número de salgados para cada um.

- Número de erros em um questionário e a nota obtida neste.

Resposta: esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se a pessoa erra uma menor quantidade de questões tira uma notar maior, e se a pessoa erra uma maior quantidade de questões, consequentemente ela tira uma nota maior.

- Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que possa não passar fome.

Resposta: Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento a pessoa tiver mais dias ela não passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver comida, mais rápido a pessoa sentirá fome.

b) Resolva a seguinte questão

Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.

x + y + z  = 210

x/1/3   =    y/1/5  =      z/1/6

mmc( 3,5,6) = 30

 x      =   y    =  z      

10/30   6/30   5/30

Aplicando a 3ª propriedade das proporções

x + y + z    = x/10 = y/6 = z/5

10 + 6 + 5

210/21 = 10

Calculando as partes:

10/1 = x/10 à x.1 = 10.10 à x = 100

10/1 = y/6 à y.1 = 10.6 à y = 60

10/1 = z/5 à z.1 = 10.5 à z = 50

Verificação de resultados:

100 + 60 + 50 = 210

100/10 = 10

60/6 = 10

50/5 = 10

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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