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Matemática para Concursos– 20ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste vigésimo tutorial  serão tratados assuntos sobre produtos notáveis, mais especificamente sobre as formas de cálculos com 2º e 3º produtos notáveis, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

PRODUTOS NOTÁVEIS

* Definição

Como já estudado em tutoriais anteriores, foi definido e informado que o cálculo algébrico é uma valiosa ferramenta para a álgebra e para a geometria.

Os produtos notáveis aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. O termo “Produto” pode ser o resultado de uma função de multiplicação e o termo “notável” poder definido como “importante”, ou aquilo que se destaca.

* Produtos Notáveis – 2º produto e 3º produto

Em tutoriais anteriores, foi visto os produtos notáveis em seu primeiro produto. Nesta vigésima parte, será estudado o segundo e terceiro produtos notáveis.

2º produto notável:

O segundo produto notável é definido como o quadrado da diferença entre dois termos e é praticamente idêntico ao primeiro produto notável, sendo a única diferença o sinal matemático do produto.

Observe:

( a – b )² = ( a – b ) . ( a – b) = a² - ab + ( -b ) ² = a² - ab – ab + b² = a² - 2ab + b²

Desta forma:

É possível fazer a leitura dos termos acima, assim:

O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do 1º termo, menos duas vezes o produto do 1º termo pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo.

* Exemplos para fixação de conteúdo do 2º produto notável

a) (a – 3) ²

Solução:

a² - 2.a.3 + 3²

a² - 6ª + 9

b) (x - 3y) ²

Solução:

(x)² - 2.x.3y + (3y) ²

x² - 6xy + 9y²

c) (2ª – 5) ²

Solução:

(2a) ² - 2.2a.5² - 5²

4a ² - 4a.50 – 25

3º produto notável:

O terceiro produto notável pode ser definido e mostrado por meio de uma representação do cálculo da área de uma figura.

Essa área será calculada de duas maneiras distintas, conforme ilustração abaixo:

A área que será calculada é formada pela área que está destacada e se encontra no formato de L e possui três tamanhos distintos tais: a, b e c.

Completando o total da figura mostrada, temos uma figura formada por um quadrado maior com lado “a” e um quadrado menor com lado “b”.

Assim, a área da figura em destaque pode ser calculada efetuando-se a diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado maior.

Area do L = área do quadrado maior – área do quadrado menor.

Outra maneira para calcular  da área do quadrado L é decompor a figura em dois retângulos, conforme abaixo:

Observe na figura acima que, c = a – b

Como os dois retângulos mostrados têm uma das dimensões iguais (c), é possível juntá-los, de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a – b

Comprimento: a + b

Largura:          a -  b

Efetuando o cálculo da área do retângulo, que é igual à área do total L, temos o seguinte:

Desta forma:

Podemos ler o enunciado acima:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.

* Algumas observações

- Quando se fala o “quadrado da diferença”, representa-se por (x – y)²

- Quando se usa o termo as “diferenças entre dois quadrados” têm (x² - y²)

- Ao usar o termo o “quadrado da soma de dois números”, essa sentença é representada algebricamente por (x + y) ²

- Ao usar o termo a “soma dos quadrados de dois números”, esta expressão corresponde a seguinte sentença: x² + y²

* Exercícios para fixação de conteúdo

a) (x + 2) (x – 2)

Solução:

x² - 2² = x2 – 4

b) (2x – 5y) (2x + 5y)

Solução:

(2x) ² - (5y) ² = 4x² - 25y²

c) (x/2 + y/3) (x/2 – y/3)

Solução:

(x/2) ² - (y/3) ²

x²/4 - y²/9

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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