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Matemática para Concursos– 25ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste vigésimo - quinto tutorial serão tratados assuntos sobre cálculos com juros e demais componentes de cálculos financeiros, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

JUROS – Parte III

Definição de Juros

Como informado anteriormente, no tutorial 24ª e recapitulando: o capital é um dos fatores de produção, torna-se mais que justo que se tenha uma remuneração, esta é denominada de JUROS.

O juro é a premiação ou a retribuição do capital empregado. Sendo assim os juros representam de fato a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva, seja ela de qualquer fim. Os juros podem ser capitalizados da seguinte forma: simples ou composto, ou mesmo, empregados de forma mista.

Ainda falando sobre definição de juros é a remuneração pelo empréstimo de algum dinheiro. Os juros existem porque a grande maioria das pessoas prefere o consumo imediato de um bem, e está disposta a pagar um preço maior por isto. Em contrapartida, a pessoa que tiver a capacidade de esperar o tempo necessário para auferir a quantia necessária para comprar o determinado item, e neste entretempo estiver disposta a emprestar esta quantia com paciência reduzida, será recompensado por esta operação na proporção do tempo e risco de receber de volta o capital. A equação tempoxriscoxquantidade de dinheiro disponível no mercado financeiro é que define o que é tão conhecida como taxa de juros.

Para checar quanto o capital rende, é indispensável que se conheça os elementos necessários que compõem estes cálculos financeiros e também  a forma de aplicação.

Estes elementos são:

o capital, taxa, juros e tempo.

Taxa Efetiva e Taxa Nominal

Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros é igual à unidade de tempo do período de capitalização, podemos dizer que esta taxa é efetiva.

Exemplos para fixação de conteúdo

Observe:

A taxa de 5% ao mês com capitalização mensal.

Juros de 8% ao trimestre capitalizado trimestralmente.

Taxa de 4% ao mês com capitalização mensal.

Nos enunciados acima envolvendo problemas de juros compostos onde se dá a taxa efetiva, frequentemente se esconde ou omite o período de capitalização, ficando subentendido que este é mesmo indicado pela taxa.

Observe:

- Taxa de 3% ao mês – significando 3% ao mês, com capitalização mensal.

- Juros de 7% ao trimestre – significando 7% ao trimestre com capitalização trimestral.

Desta forma é comum se encontrar problemas envolvendo juros compostos as expressões do tipo:

- “juros de 82% ao ano, capitalizados mensalmente”.

- “juros de 12% ao ano, capitalizados trimestralmente”.

- “taxa de 14% ao ano, com capitalização bimestral”.

Nestas expressões podemos observar que se convencionou chamar de taxa nominal que é a taxa cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo do período de capitalização.

É possível entender a taxa nominal como uma “taxa falsa”, geralmente fornecida com período em anos, que não devemos utilizar diretamente nos cálculos de juros compostos, pois estas não produzem resultados certos. No lugar desta, devemos usar a taxa efetiva.

Conversão de Taxa Nominal em Taxa Efetiva

A conversão da taxa nominal em taxa efetiva é feita ajustando-se o valor da taxa nominal proporcionalmente ao período de capitalização. Isto pode ser feito com uma regra de três simples e direta.

Exemplos para fixação de conteúdo

a) Uma aplicação financeira qualquer paga juros compostos de 6% ao ano, com capitalização trimestral. Qual é a taxa de juros efetiva trimestral praticada nesta aplicação financeira?

Solução:

As capitalizações são trimestrais. Então, teremos que ajustar a taxa nominal anual de 6% para uma taxa trimestral, usando uma regra de três simples:

- Se em 12 meses (01 ano) ---->               6% juros

- Então 3 meses ------>                              1,5%  juros (i=0,015)

Desta forma, a taxa efetiva praticada é de 1,5% ao trimestre.

b) Um cálculo de juros compostos tem como taxa de juros 60% ao ano com capitalização mensal. Qual deverá ser a taxa mensal que será usada para calcular o montante ?

Solução:

Como as capitalizações são mensais, teremos que realizar um ajuste a taxa nominal anual de 60% para uma taxa mensal usando regra de três simples e direta:

- Se em 12 meses (01 ano) ---->            60% juros

- Então 01 mês ---->                               5% juros

Então, a taxa nominal de 60% ao ano corresponde a uma taxa efetiva de 5% ao mês (i = 0,05).

Taxa equivalente

É possível dizer que duas taxas são equivalentes quando estas, sendo aplicadas a capital com valores iguais, em prazos iguais, produzem valores de juros iguais.

Exemplos para fixação de conteúdo

Qual a taxa trimestral de juros compostos equivalente à taxa composta de 10% a.m. ?

Solução:

Taxa mensal =  im = 0,10

Como 1 trimestre é igual a 3 meses, teremos 1 e 3 como expoentes:

(1 + it )1 = (1 + im  )3

(1 + it )1 = (1,10) 3

(1 + it )1 = 1,331 -> it  = 0,331 = 33,1%

Então, a taxa trimestral composta equivalente a 10% a.m. é 33,1%.

Exercícios Resolvidos

No tópico anterior, vimos apenas exemplos práticos de uso das fórmulas. Agora serão vistos exercícios práticos com as respectivas respostas e algumas ocasiões de aplicações. Estes exercícios são voltados para questões em provas de vestibulares e concursos públicos, pois os mesmos são questões idênticas de provas em concursos.

Exercícios sobre  taxas efetivas, nominais:

1) Calcule o montante que resultará de um capital de R$ 4.000,00, no final de 1 ano, aplicado com juros de 27% ao ano com capitalização trimestral.

Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação

M = P . (1 +  i)n

Solução:

No problema dado a capitalização é trimestral, a taxa efetiva, bem como a duração da aplicação será indicada em trimestres.

Taxa efetiva:

12 meses ------------>          27%

03 meses ------------>          6,75%

Tempo da aplicação:

01 ano = 12 meses ----> 12 ÷ 3 = 4 ( 4 trimestres ) --> n = 4

Resumindo os dados do problema:

Capital ou Principal - P = 4.000

Taxa – i = 6,75% = 0,0675

Períodos de Capitalização – n = 4

Calcule o montante:

Substituindo temos : M = 4.000 . (1 + 0,0675)4

M = 4.000 . (1,0675) 4

M = 4.000 . (1,2985)

M = 4.000 . 1,2985 = 5.194,00

Então, o Montante procurado  é de R$ 5.194,00.

2) Qual a taxa anual equivalente a 6% ao trimestre.

Solução:

No prazo de 01 ano temos:

02 semestres, desta forma:

1 + ia = (1 + is)2

1 + ia = (1 + 0,06)2

1 + ia = (1,06)2

1 + ia = 1,1236 ---> ia = 0,1236 ---> ia = 12,36 a.a

Então a taxa equivalente é 12,36% a.a.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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