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Matemática para Concursos– 31ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste trigésimo - primeiro tutorial serão tratados assuntos sobre fatoração, continuando o tema visto no artigo anterior. Também serão abordados cálculos matemáticos e exercícios sobre o tema, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Fatoração (Parte II)

* Revisão

Como visto, o termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes e fatores são elementos constantes de multiplicação.

Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Observe:

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Ex.: bz + bw = b.(z + w)

* Formas de fatoramento

1) Fatoramento por diferença de quadrado

Como estamos vendo as formas de fatoração, e dando continuidade no tutorial de número 30, este método se baseia em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.

Desta forma:

X2 – 36 =

(x + 6) . (x – 6)

X2 – 49 =

(x + 7) . (x – 7)

Exemplos para fixação de conteúdo:

Fatore as seguintes expressões:

a) x2 – y2 =

(x + y) . (x – y)

b) 4a2 – 1 =

(2a + 1) . (2a – 1)

c) 1 – 16x4 =

(1 + 4x2) . (1 – 4x2) =

(1 + 4x2) . (1 + 2x) . (1 – 2x) – Note aqui que é possível fatorar a expressão duas vezes

2) Fatoração do trinômio quadrado perfeito

O termo trinômio que se encontra quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Veja alguns exemplos de trinômios:

(a2 + 2ab + b2 )

( a2 - 2ab + b2 )

Estes trinômios são considerados perfeitos   pois são obtidos quando as expressões (a+b) e (a-b) são elevados ao quadrado, respectivamente.

Observe os cálculos:

(a + b)2  =  a2 + 2ab + b2              (a - b)2  =  a2 - 2ab + b2

Assim:  x2  +  8x + 16

           |                |

           |                |

          2x               4

           |________|

                   |

2x.4 = 8x » note que é igual ao segundo termo de  x2 + 8x + 16

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2  » forma fatorada

|______________________________|

                            Sinal

Logo:    x2 - 8x + 16 = (x - 4 )2 » forma fatorada

|_____________________________|

                             Sinal

Exemplos:

a) X2 – 10x + 25 =

(x – 5)2

b) 16x2 + 24xy + 9y2 =

(4x + 3y)2

Obs.: Vale lembrar que ao fatorarmos uma expressão algébrica, deve fatorá-la por completo:

Veja abaixo:

a)  4x2 + 8x + 4 = 4(x2 + 2x + 1) = 4(x + 1)2

b) 25a4 - 100b2 = 25.(a4 - b2) = 25(a2 + b).(a2 - b)

- Exemplo de trinômio quadrado “não perfeito”

a) a2 + 8a + 9

2 . a. (quadrado de a2) + 3 (quadrado de 9)

6a # 8a

Nesse caso o trinômio não é quadrado perfeito e por tanto não pode ser fatorado.

* Exercícios passo a passo para fixação de conteúdo fatoração

Como em matemática, devemos manter uma praticidade grande nos temas abordados, para uma melhor compreensão, vamos procurar adotar mais exercícios.

Busque resolver sem olhar as respostas.

a) Fatore a expressão

3xy + 6x

Podemos observar que os valores 3 e x são comuns às duas parcelas. Então é possível escrever a expressão na seguinte forma:

3xy + 6x = 3x . (3xy/3x + 26x/3x) ---àsimplificando as frações

3x = (3xy/3x + 26x/3x)

3xy + 6x = 3x(y + 2)

Aqui o valor “3x” foi colocado em destaque. Na prática, estes cálculos (dentro dos parênteses) são feitos na maioria das vezes “de cabeça”.

b) Fatore a seguinte expressão

2a2b – 4ab2

Observando, temos que os fatores comuns neste problema são 2, a e b.

Vamos colocar os valores 2.a.b em “destaque”, obtemos:

2a2b – 4ab2 =

2ab . (a – 2b)

Vamos ter certeza que esta divisão está certa:

Faça o seguinte: 2ab. (a – 2b) = 2a2b – 4ab2

Neste caso, usamos a propriedade distributiva da multiplicação (estudando em tutoriais anteriores) para checar se os cálculos de fatoração estão corretos.

c) Aprendemos que a2 – b2 é o resultado obtido do produto (a + b) . (a –b). Desta forma, fatore as expressões abaixo:

* 4x2 - 9

4x2  = (2x)2

9 = 32

Temos então: (2x + 3) . (2x + 3) ---à forma fatorada

* 36a2 - 1

36a2 = (6a)2

1 = 12

Temos então: (6a + 1) . (6a – 1) ----> forma fotorada

* 16 –x2

          25

16 = 42

x2  =  (x/5)2

25

Temos então: (4 + x/5) . (4 – x/5) ----à forma fotorada

d) Caso surja mais de um caso de fatoração, veja como resolver:

Exercícios:

* ax2 – ay2

a.(x2 – y2)

a. (x – y) . (x + y)

* x2 + 2ax + a2 - 9

(x + a)2 – 9

[(x + a) – 3] . [x + a + 3]

(x + a – 3) . (x + a - )

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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