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Matemática para Concursos– 49ª Parte

Objetivos:

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre progressões aritméticas, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

* Definição

Conforme tutorial anterior, foi visto que Progressão geométrica (P.G.) é uma sucessão de termos não-nulos em que o quociente de cada termo e seu procedente, a partir do segundo, é sempre constante. Esse  quociente é chamado razão da progressão geométrica.

Relembrando a seqüência:

a1, a2, a3,...an-1, an

Observe o termo quociente:

Q = a2/a1 = a3/a2... = an/an-1

A razão da P.G é representada por Q.

* Propriedades de uma PG

1) Em toda P.G. qualquer termo em módulo, excetuando-se os extremos, é média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

Ex.:

(3,6,12,24,...) ===è 6 = √3.12

2) Em toda P.G. limitada o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos

Ex.:

(1,2,4,8,16,32) ===è 2.16 = 1.32

3) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central em módulo é média geométrica entre os extremos

Ex.:

(1,2,4,8,16) ===è 4 = √1.16

* Soma dos termos da P.G. finita

A soma dos termos de uma P.G. finita é dada conforme a seguinte fórmula:

Sn = anQ-a1     ou  Sn = a1(Qn -1) Q - 1

           Q – 1                          Q - 1

* Exemplo para fixação de conteúdo e fórmula

a) Calcular a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (1,2,...)

- Montando os valores

a1 = 1

Q = 2

Aplicando na fórmula:

Sn = anQ-a1     ou  Sn = a1(Qn -1) Q - 1

           Q – 1                       Q - 1

S10 = a1(Q10 – 1)  = 1(210 – 1)

                Q - 1             2 – 1

S10 = 210  - 1

S10 = 1024 – 1

S10 = 1023

* Exercícios para fixação de contéudo

Os exercícios abaixo foram retirados de provas de vestibulares e concursos.

a) (UCS) O valor de x para que a seqüência (x+1, x, x+2) seja uma PG é:

(a) 1/2

(b) 2/3

(c)-1/2

(d)-2/3

(e) 3

- Utilize a propriedade básica de uma PG.

exeresolv1.gif (1022 bytes)

 - Substituindo pelos valores respectivos:

exeresolv2.gif (2101 bytes)

Resposta certa letra "d".

b)  Na PG de termos positivos (a, b, c), temos:

a+b+c=91

a*c=441

Assim, (a+c) é igual a:

(a) 21

(b) 49

(c) 53

(d) 63

(e) 70

- Montando os valores

a1 = a

a2 = b

a3 = c

O que se deseja saber é (a+c). Assim, utilizando a equação (1), é possível dizer que:

- Se descobrirmos o valor de "b" podemos substituir nesta fórmula e achar o que é pedido. Para isso vamos pegar a equação (2) e substituir o termo "c", que é o a3, pelo seu equivalente na fórmula geral:

Prosseguindo abaixo:

- Como o termo "b" é o segundo, então:

b=aq

aq=21

logo    b=21

- Substituindo na equação (3):

a+c=91-b

a+c=91-21

a+c=70

Resposta correta, letra "E"

c) Sendo 10 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 4.

- Montando os valores

a1=10

Q=2

a4=?

 n=4

Usando a fórmula do termo geral:

An = a1 . Qn-1

Resolvendo:

an = a1*Qn-1

a4=10*Q4-1

a4=10*23

a4=10*8

a4= 80

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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