Matemática para Concursos– 24ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste vigésimo - quarto tutorial serão tratados assuntos sobre cálculos com juros e demais componentes de cálculos financeiros, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

JUROS – Parte II

Definição de Juros

Como informado anteriormente, no tutorial 23ª e recapitulando: o capital é um dos fatores de produção, torna-se mais que justo que se tenha uma remuneração, esta é denominada de JUROS.

O juro é a premiação ou a retribuição do capital empregado. Sendo assim os juros representam de fato a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva, seja ela de qualquer fim. Os juros podem ser capitalizados da seguinte forma: simples ou composto, ou mesmo, empregados de forma mista.

Ainda falando sobre definição de juros é a remuneração pelo empréstimo de algum dinheiro. Os juros existem porque a grande maioria das pessoas prefere o consumo imediato de um bem, e está disposta a pagar um preço maior por isto. Em contrapartida, a pessoa que tiver a capacidade de esperar o tempo necessário para auferir a quantia necessária para comprar o determinado item, e neste entretempo estiver disposta a emprestar esta quantia com paciência reduzida, será recompensado por esta operação na proporção do tempo e risco de receber de volta o capital. A equação tempoxriscoxquantidade de dinheiro disponível no mercado financeiro é que define o que é tão conhecida como taxa de juros.

Para checar quanto o capital rende, é indispensável que se conheça os elementos necessários que compõem estes cálculos financeiros e também  a forma de aplicação.

Estes elementos são:

o capital, taxa, juros e tempo.

Mais antes veja a definição de capital, para que se tenha uma definição e compreensão melhor em soluções de problemas.

Juros Compostos

É denominado regime de Juros Compostos aquele onde os juros relativos a cada período são calculados sobre o montante referente ao período anterior.

Em resumo, os juros que são produzidos ao fim de cada período passaram a fazer parte do capital ou montante que serviu de base para cálculo, de modo que o total conseguido será a base para os cálculos em períodos seqüentes.

O sistema de juros compostos é mais comum e usado no sistema financeiro, pois para os bancos e empresas financeiras principalmente, que trabalham com produto “dinheiro”, torna-se muito mais vantajoso e rentável que se trabalhe com este tipo de regime de juros. Neste caso é mais útil para o usuário que saiba como se aplica estes conceitos, pois em provas de concursos ou mesmo no dia-a-dia, é necessário que se saiba como efetuar estes cálculos.

Desta forma, vale frisar que neste regime de juros, o resultado dos juros de cada período é incorporado ao capital inicia, gerando um novo montante para o período seguinte.

Definimos como capitalização o momento em que os juros encontrados no período são incorporados ou somados ao valor principal.

Vejamos um exemplo:

Após quatro meses de capitalização, temos o seguinte:

1º mês: M = P.(1 + i)

2º mês: O valor principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)

3º mês: O valor principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

E assim sucessivamente, com o período sendo relativo ao que foi acordado.

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 +  i)n

Obs. Vale ressaltar que a taxa “i” deve estar na mesma media de tempo do valor “n”, ou seja, para se pode ter o cálculo correto, tem que esta em dia/dia, mês/mês, ano/ano.

Desta maneira, para que se possa efetuar o cálculo apenas dos juros, simplesmente diminua o valor principal do montante ao final do período dado no problema.

Obtemos a fórmula:

J = M - P  

Exemplos para fixação de conteúdo

Observe:

Um montante ou valor principal, mês a mês, de uma aplicação de R$ 2.000,00 à taxa de 8% a.m. em um período de 6 meses no regime de juros compostos :

Solução:

Observações:

a) Os juros e o montante, no fim do 1º mês, tem os valores iguais aos que seriam produzidos no sistema de juros simples.

b) Os juros vão se tornando maiores mês a mês ou período a período, de modo que após o 1º mês, a diferença entre um Montante calculado no sistema de juros compostos e o correspondente valor no sistema de juros simples, se torna cada vez maior de acordo com o tempo que vai sendo aplicado.

c) No  exemplo acima, cada Montante novo é obtido calculando-se um aumento de 8% sobre o Montante anterior, o que resulta em aumentos constantes com uma taxa fixa de 8%.

No exemplo de fixação acima, é observado também a definição de Capitalização. Como este é o processo de incorporação ou soma dos juros ao capital ou montante inicial de uma operação financeira, verifique na terceira coluna a evolução do aumento do Montante Final.

É fato comum também ser encontrado em diversas situações as expressões do tipo: regime de capitalização simples e regime de capitalização composta ao invés de regime de juros simples e regime de juros compostos.

Em alguns problemas ou enunciados feitos no mercado financeiro ou em provas de concursos, frequentemente são encontradas outras expressões usadas para indicar o regime de juros compostos:

» taxa de X% a.a. capitalizada semestralmente – Expressão indica juros compostos capitalizados por semestre;

» taxa composta de X% a.m. – Expressão indica juros compostos com capitalização mensal;

» capitalização composta, montante composto – Expressão indica a atuação do sistema de juros compostos.

Exercícios Resolvidos

No tópico anterior, vimos apenas exemplos práticos de uso das fórmulas. Agora serão vistos exercícios práticos com as respectivas respostas e algumas ocasiões de aplicações. Estes exercícios são voltados para questões em provas de vestibulares e concursos públicos, pois os mesmos são questões idênticas de provas em concursos.

Exercícios sobre juros compostos:

1) Um capital de R$ 300,00 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de 10% ao mês. Calcule o Montante desta aplicação após dois meses.

Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação

M = P . (1 +  i)n

Resumindo os dados do problema:

Capital ou Principal  - P = 300

Taxa – i = 10% = 0,1

Períodos de Capitalização – n = 2

Primeiramente calcule o montante:

Substituindo temos : M = 300 . (1 + 0,1)²

M = 300 . (1,1) ²

M = 300 . (1,21)

M = 300 . 1,21 = 363,00

Então, o Montante da aplicação fornecida neste problema após 02 meses é de R$ 363,00.

2) Um dono de empresa consegue um empréstimo de R$ 30.000,00 que deverá ser pago, no fim de um ano, acrescidos de juros compostos de 3% ao mês. Quanto o  dono da empresa deverá pagar ao final do prazo estabelecido.

Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação

M = P . (1 +  i)n

Resumindo os dados do problema:

Capital ou Principal  - P = 30.000,00

Taxa – i = 3% = 0,03

Períodos de Capitalização – n = 12

Primeiramente calcule o montante:

Substituindo temos : M = 30.000  x  (1 + 0,03)12

M = 30.000 x (1,03) 12

M = 30.0000  x (1,4257)

M = 30.000. x 1,4257 = 42.771

Então, o dono da empresa deverá pagar ao final do prazo o valor de R$ 42.771,00.

3) Calcule o capital que aplicado à taxa composta de 4% a.m. dará origem a um montante de R$ 4.650,00 no fim de 08 meses

Em todas as ocasiões que se pede será escrito a fórmula para fixação

M = P . (1 +  i)n

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Relembrando acima a fórmula do capital ou montante.

Resumindo os dados do problema:

M = 4.650

i = 4% = 0,04

n = 8

Assim, é necessário calcular o capital que, isolando a partir da fórmula matriz, temos:

          M          

P =  (1 +  i)n

Explicando a fórmula acima o Capital ou Principal é igual ao Montante dividido por (1 + i)n

Substituindo os dados:

P = 4.650 / (1 + 0,04)8

P = 4.650 / (1,04) 8

P = 4.650 / (1,3685)

P = 4.650 / (1,3685)

P = 3.397,88

Então, o capital procurado é  de R$ 3.397,88.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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