Matemática para Concursos– 29ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste vigésimo - nono tutorial serão tratados assuntos sobre cálculos envolvendo descontos. Também serão abordados cálculos financeiros, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Desconto  Composto

* Desconto

Como informado no tutorial anterior, desconto é o abatimento no valor de um título de crédito que pode ser: Letra de câmbio, fatura, duplicata, nota promissória.

Relembrando temos :

A = N –Dc

Ou

A = N - Dr

Onde: A – Valor atual

Assim, ao estudarmos o desconto simples, foi visto que as diferenças entre desconto bancário e desconto racional.

No desconto bancário (por fora) as taxas são aplicadas sobre o valor nominal, enquanto que no desconto racional (por dentro), os cálculos são feitos com taxas sendo aplicadas sobre o valor líquido.

O desconto composto pode ser definido como a soma dos descontos simples, considerando cada período na operação e calculando sempre as taxas sobre o valor nominal da operação.

Exemplo de definição:

Se um título qualquer é pago com 5 meses de antecedência, o desconto composto seria calculado da seguinte forma:

1) Leva-se em consideração o valor nominal do título na operação e calcula-se o valor P (valor atual) 1 mês antes do vencimento;

2) Se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 2 meses antes do vencimento;

3) Deste  valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 3 meses antes do vencimento;

4) Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 4 meses antes do vencimento;

5) Terminando então o período, se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 5 meses antes do vencimento;

Desta forma, quando os descontos são as somas de vários períodos na operação ele é chamado de desconto real. O desconto bancário é a soma dos descontos comerciais.

* Definição e cálculos do valor atual em regime de capitalização composta

Analise uma situação:

Um título qualquer, com valor nominal “N” tem o valor de R$ 20.000,00, passível de resgate  após o período de 7 meses, com uma taxa de juros compostos de 20% a.m.

Qual o capital  que aplicado a essa taxa, durante um período de igual tempo, resultaria um valor N?

Os cálculos feitos nesta operação deverão ser de Montante para Juros Compostos.

Como já estudado em tutoriais anteriores, observe as fórmulas:

M = C . (1 + i)n

Então : N = M = C . (1 + i)n

Como:         N = 20.000

                   I = 20% = 0,2

                   n = 7 meses

Temos:

20.000 = C . (1 + 0,2)7

C = 20.000              ---> C = 20.000 = 5.581,75

    (1 + 0,2)7                         3,5831

O capital procurado é de R$ 5.581.75, que pode ser chamado de valor atual do título.

O valor atual “Va”  de um determinado capital “N” em “n” anos com uma soma “v” que, colocada a juros compostos durante “n” anos, se transforma no seguinte:

N = Va(1 + i)n   ----à         Va = N / (1+i)n

Nas fórmulas acima:

Va = valor atual

N = valor nominal

n = período da operação

i = taxa juros compostos

É possível definir:

Va = N . vn

O símbolo “v” representa um valor dado  tabelado. Na fórmula acima temos também a seguinte situação:

v =  1 / 1+1

* Calculando desconto composto

É bom observar que este tipo de desconto é muito usado no Brasil em grande parte das operações comercias. Este tipo de assunto é cobrado em várias provas de concursos, em conhecimentos gerais de matemática.

Antes, vamos fazer uma comparação com sistema de juros compostos :

Vamos um exemplo prático para definir como calcular.

Qual será o desconto de um título no valor de R$ 9.000,00, à taxa de 9% a.m descontado 3 meses antes do seu vencimento final ?

Dados da operação:

N = 9.000,

I = 9% = 0,09

então vamos usar a fórmula :

Va = N . Vn

Va = 9.000 . (1 / 1 + 0,09)3 = 9.000 x 0,8172 (valor aproximado)

Logo, o valor da operação acima é aproximadamente = R$ 7.354,80

Como o valor original do título era R$ 9.000,00 e o valor atual encontrado é R$ 7.354,80

* Exercícios para fixação de conteúdo

a) Calcule o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 25.000,00, se o prazo de vencimento é de 6 meses e a taxa de desconto é de 4,5 ao mês.

Resolução:

Dados do problema

N = 25000

n = 6

i = 4,5 = 0,045

Va = N . Vn

Dr = 25000 x (1 / 1 + 0,045)6

Dr = 25000 x (1 / 1,045) 6

Dr = 25000 x 0,7677 (valor arredondado) = 19.192,50 (valor aproximado)

O valor atual é de R$ 19.192,50

Se o valor original do título é de R$ 25.000,00, então (25.000 – 19.192,50)

O valor do desconto é de R$ 5.807,50

b) Calcule o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$ 30.000,00, com prazo de vencimento antecipado  de 3 meses e a taxa de desconto é de 2% ao mês. No final somar o valor de R$ 2.500,00 de abatimentos extras.

Resolução:

Dados do problema

N = 30.000,00

n = 3

i = 2,0% = 0,02

Va = N . Vn

Dr = 30000 x (1 / 1 + 0,02)3

Dr = 30000 x (1 / 1,02) 3

Dr = 30000 x 0,9420 (valor arredondado) = 28.260 (valor aproximado)

O valor atual da operação é de R$ 28.260,00

Se o valor original do título é de R$ 30.000,00, então (30.000 – 28.260)

O valor do desconto é de R$ 1.740,00

Soma-se a este último o valor de R$ 2.000,00 de abatimentos extras torna-se R$ 3.740,00

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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