Matemática para Concursos– 30ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste trigésimo tutorial serão tratados assuntos fatoração. Também serão abordados cálculos matemáticos e exercícios sobre o tema, bem como definições, exemplos e problemas resolvidos.  Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Fatoração

* Definição

O termo fatoração leva ao pensamento de fatores ou partes. Como já falado em alguns tutoriais, fatores são elementos constantes de multiplicação.

Desta forma fatorar um número, é expressá-lo no formato de uma multiplicação de fatores.

Vamos a alguns exemplos:

a) O número 32 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores de várias formas:

32 = 2 x 16

32 = 4 x 8

32 = 2 x 2 x 8

b) O número 12 pode ser escrito como uma multiplicação de fatores das seguintes formas:

12 = 2 x 6

12 = 4 x 3

12 = 1 x 6 x 2

No caso de uma expressão numérica, cujas parcelas têm um fator comum no problema, é possível fatorar da seguinte forma :

6 x 3 + 5 x 3 = (6 + 5) x 3 (Esta é a forma fatorada da expressão fornecida)

4 x 2 + 7 x 2 = (4 + 7 ) x 2 (Forma fatorada da expressão)

Fatorar, então é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Observe:

Ex: ax + ay = a.(x+y)

Ex.: bz + bw = b.(z + w)

* Simplificação de cálculos algébricos com fatoração

Considerando um terreno qualquer com formato dado abaixo, ou seja, dois lotes de comprimentos diferentes de larguras iguais:

É possível calcular  a área total do terreno de duas maneiras distintas:

» Somam-se os comprimentos dos lotes e calcula-se diretamente a área do terreno.

» Calculando a área de cada lote e depois soma-se ambas.

Ambas as formas de cálculo dão o mesmo resultado, então podemos escrever da seguinte forma:

Área do lote 1 =  ax

Área do lote 2 = bx

Somam-se então as duas áreas dos lotes dados: ax + bx

Comprimento total do terreno =  (a + b)

Área do terreno = (a + b) . x

Desta forma:

ax + bx = (a + b) x

Onde:

ax + bx = soma de duas parcelas

(a + b)x = produto de dois fatores

Resumindo: Toda vez que em uma soma de duas ou mais parcelas de qualquer problema houver fator comum a todas as parcelas dadas (como no exemplo o x em “ax + bx”), é possível fatorar essas expressão, e esse fator comum no problema será um dos fatores da expressão após ser fatorada.

Então, é possível ter a seguinte dúvida:

Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada no problema?

Simplesmente divida a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum.

* Exemplos para fixação de conteúdo

1) Use o método de fatoração para calcular facilmente a seguinte expressão:

7.544 . 49 + 455 . 49

Solução:

7.544 . 49 + 455 . 49 =

49 . (7544  + 455) =

49 . (7999) =

391951

2) Indique qual a alternativa correta:

(x + 1).(x – 1) é a forma fatorada de qual expressão:

a) x2 + 2x + 1                   b) x2 – 20               c) x2 - 1

Calculando:

(x + 1) . (x – 1) = x2– x + x – 1 = x2 - 1

A resposta corre é a letra C.

* Casos de fatoração

Existem vários casos do sistema de fatoração, veja abaixo:

1) Fatorar por agrupamento

Este método se faz aplicando duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios (já vistos anteriormente) especiais.

Veja o exemplo:

ax + ay + cx + cy

Os dos primeiros termos do caso possuem em comum o fator “a”, os dois últimos termos do problema possuem em comum o fator b. Então, colocam-se esses termos em evidência:

a. (x + y) + c.(x + y)

Este novo polinômio possui o termo (x + y) em comum. Desta forma, temos:

(x + y).(a + c)

Resumindo: ax + ay + cx + cy = (x + y) .  (a +c)

Exemplo:

a) Fatore a seguinte expressão:

x2 -2x + ax – 2a =

x(x – 2) + a(x – 2) =

(x – 2) . (x + a) – Forma fatorada

“x” é o fator comum “a” é fator comum também. (x – 2) é fator comum.

2) Fator comum em evidência

Esse método é aplicado quando os termos apresentam fatores comuns.

Observe os seguintes polinômios:

cx + cy --à Ambos os termos apresentam o fator “c” em evidência.

Desta forma:

cx + cy = c.(x + y) - forma fatorada do problema

Exemplo:

Fatore as seguintes expressões:

a) cx + cy –cz =

c.(x+y-z)

b) 3x2 – 6xy

3x.(x – 2y)

* Exercícios resolvidos de fatoração

Fatore, colocando os fatores comuns em evidência:

a) ax+3a  =

a(x+3)

b) b²-c² =

(b+c)(b-c)

c) a² - 4ab + 4b² =

(a-2b)²

d) 2x²-2 = 2(x²-1) =

2(x+1)(x-1)

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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