Matemática para Concursos– 39ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre equações do segundo grau, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Equações do 2º grau

* Definição

Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:

Onde : a, b, c pertence a R, com a ≠ 0

Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável:

a) 3x2 – 4x + 2 = 0

Onde:

a = 3

b = -4

c = 2

b) y2 + 10y – 15 = 0

Onde:

a = 1

b = 10

c = -15

* Coeficientes da equação do 2º grau

Os números reais a, b e c são chamados de coeficientes da equação do 2º grau, e seguem da seguinte forma:

» a é sempre o coeficiente do termo x2

» b é sempre o coeficiente do termo x

» c é chamado de termo independente ou mesmo de termo constante

* O que são equações completas e equações incompletas

Como já definimos, o coeficiente “a” é sempre diferente de zero (a ≠ 0). Mas os coeficientes  “b” e “c” podem ser nulos.

Desta forma:

» quando “b” e “c” são diferentes de zero, a equação se diz completa.

Ex.:

2x2 – 4x + 2 = 0

Y2 – 3y + 4 = 0

-3t2 + 4t + 3 = 0

Todas as equações acima são chamadas de “equações completas”.

» quando (b = 0), ou (c = 0) ou (b = c = 0), a equação se diz incompleta.

x2 – 5 = 0

t2 + 2t = 0

10x2 = 0

Todas as equações acima são chamadas de “equações incompletas”.

* Como resolver equações do 2º grau incompletas

Para resolver uma equação, que significa determinar o conjunto de soluções dessa equação.

Inicialmente observamos o seguinte:

» Se x2 = a, então x = raiz quadrada positiva e negativa (relação fundamental)

» Se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0

Baseado nas condições acima, verificaremos como resolver as equações incompletas do 2º grau.

1º caso:

A equação é da forma ax2 + bx = 0, onde c = 0.

Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau, sendo U = R

Exemplos:

a) x2 – 4x = 0

Colocando o fator x em evidência, temos:

x. (x – 4) = 0

As raízes das equações são:

x = 0

x – 4 = 0

x = 4

Logo S = {0,4}

b) y2 + 10y = 0

Colocando o fator y  em evidência, temos:

y.(y + 10) = 0

As raízes das equações são:

y = 0

y + 10 = 0

y = -10

Logo S = {0, -10}

Observe que nos exemplos acima, sempre procuramos colocar a variável em evidência para a equação seja solucionada mais rapidamente.

2º caso

A equação é da forma ax2 + c = 0, onde b = 0.

Resolva as seguintes equações incompletas do 2º grau, sendo U = R

a) x2 – 49 = 0

Calculando o termo independente e transpondo e termo, temos o seguinte:

x2 – 49 = 0

x2 = 49

x = +/- raiz quadrada de 49 (√49) – relação fundamental

x = +/- 7 ---à Raiz quadrada de 49 pertence R e é exata : 7

x = + 7 ou x = -7

S = {-7, 7}

b) 4x2 – 36 = 0

Calculando o termo independente e transpondo e termo, temos o seguinte:

4x2 = 36

x2 = 36/4

x2 = 9

x = +/- raiz quadrada de 9 (√9) – relação fundamental

x = + 3 ou x = -3

S = {-3, 3}

* Exercícios para fixação de conteúdo

1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

a) 4x2 - 2x - 2 = 0

a = 4

b = -2

c = -2

A equação é denominada completa.

b) 4x2  + 60 =  0

a = 4

b = 0

c = 60

A equação é denominada incompleta.

c) x2 - 6x = 0

a = 1

b = -6

c = 0

A equação é denominada incompleta.

2) Calcule

a) y2 + 15y = 0

y. (y + 15) = 0

y = 0

y + 15 = 0

y = -15

S = {0,-15)

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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