Matemática para Concursos– 46ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre progressões aritméticas, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - II

* Definição

No tutorial anterior, foi visto que  progressão aritmética é uma sucessão de termos, tais que a diferença entre um termo qualquer e o seu procedente é constante. Esta diferença é chamada de razão (r).

Para relembrar o que é o termo PA :

Uma sucessão aritmética é também chamada de progressão aritmética. Para esta soma indicada  dos respectivos termos chama-se de série aritmética.

* Propriedades de uma PA

Iremos abordar agora, as propriedades de uma progressão aritmética, onde é possível através destas resolver várias questões de PA.

- 1ª Propriedade

Em toda Progressão Aritmética (PA), um termo qualquer, excluindo-se os extremos, é média aritmética entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

Desta forma na P.A. abaixo temos :

(a1, a2, ...ak-1, ak, ak+1 ... an-1, an ...)

Ex.:

a) P.A = (1,3,5,7,9,11)

Temos:

5 = 7 + 3                7 = 5 + 9

        2                              2

b) P.A = (2,4,6,8,10,12)

Temos:

6 = 4 + 8                10 = 12 + 8

         2                              2

- 2ª Propriedade

Em toda P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Desta forma na P.A. abaixo temos :

(a1, a2, a3, ..., ai, ...ak, ... an-2, an-1, an)

 P termos                            P termos

Ex.:

a) Se em uma P.A. n = 27, então, podemos afirmar que os termos “a7” e “a31”, são eqüidistantes dos extremos, pois:

7 + 31 = 31 + 7

b) 1,2,3,...98, 99, 100.

Logo: 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 1 + 100

c) 1,2,3,...88,89,90.

Logo:  2 + 89 = 3 + 88 = ... = 1 + 90

- 3ª Propriedade

Em toda P.A. de número ímpar de termos, o termo central ou termo médio é a média aritmética dos extremos.

Assim, na P.A. (com número ímpar)

(a1, a2, ..., ai, ...ak, ... an-1, an)

 P termo                      P termo

Conclui-se que:

Ex.:

a) 3, 5, 7, 9, 11,

7 = 3 + 11

         2

b) 15,17,19,21,23

19 = 15 + 23

            2

* Soma de uma Progressão Aritmética (P.A.)

A soma dos termos de uma P.A. finita (ou limitada) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

Ex.:

Calcular a soma dos 20 primeiros termos de uma P.A. (2, 5, 8...)

Sn = (a1 + an)N

                2

S20 = (a1 + a20)20

                   2

a20 = ??

a20 = a1 + 19r =

a20 = 2 + 19r =

a20 = 2 + 19.(3) = ---> a20 = 2 + 57 = 59

S20 = (a1 + a20)20 = ---> S20 = (2 + 59)20

                    2                                       2

S20 = 61 . 20 = 1.220 = ---> S20 = 610

              2           2

* Interpolação de uma Progressão Aritmética (P.A.)

Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde  a1 e an são os extremos.

Como a1 é sempre dado, basta determinar a razão (r).

Ex.:

a) Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38

3, ____,____,____,_____,38

a1 = 3

an = 38

n = 6

r = ?

an = a1 + (n – 1)r ---> Resolvendo r = 7

Resposta: 3, 10, 17, 24,31,38

* Exercícios para fixação de conteúdo

Como já informado, em todos os nossos tutoriais sempre buscamos fornecer teorias juntamente com a prática. Por isso sempre colocamos vários exercícios para que o usuário possa treinar os fundamentos.

a) Determinar o valor de x, de modo que os números (x + 4)2, (x – 1)2 e (x + 2)2 estejam, nessa ordem, em uma P.A.

Resolvendo:

P.A. [(x + 4)2, (x - 1)2, (x + 2)2]

Sendo: a1 = (x + 4)2  |  a2 = (x - 1)2   | a3 =  (x + 2)2

Onde : a2 – a1 = a3 – a2 ---> (x - 1)2   - (x + 4)2  = (x + 2)2  - (x - 1)2   ---->

(x2 – 2x + 1) – (x2 + 8x + 16) = (x2 + 4x + 4) – (x2 – 2x + 1) =   ---->

-2x – 8x + 1 - 16 = 4x + 2x + 4 – 1 = ---> -10x - 15 = 6x + 3 = ---->

-10x – 6x = 3 + 15 = -16x = 18 ---> 16x = -18 ----> x = -18/16 ---> x = -9/8

b) Encontrar o termo geral da P.A. (4,7,...)

Resolvendo:

Dados do problema:

a1 = 4

r = 7 – 4 = 3

n = n

an = a1 + (n – 1)r

an = 4 + (n – 1)3

an = 4 + 3n – 3

an = 3n + 1

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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