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Matemática para Concursos– 4ª Parte

Objetivos:

 

Este tutorial trará uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste quarto tutorial serão visto as questões com a divisibilidade de números. Serão mostradas as definições técnicas deste tema, e realizados exemplos e aplicação de propriedades sobre regras de divisões de alguns números. Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Divisibilidade de números

 

* Definição

Em diversas situações é preciso saber se um número natural (N) é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da operação, apenas para ter a certeza de que realmente os números são divisíveis entre si.

Desta forma podemos definir que o divisor de um número inteiro B é qualquer número inteiro C de tal forma que B = C x N para um número inteiro N qualquer.

Então, é possível indicar o conjunto dos números divisores de um número inteiro B por:

- Quando C é um divisor de N se diz que N é divisível por C.

 

- O número zero (0) não pode ser divisor de qualquer número.

 

- O menor divisor de um número inteiro C qualquer é 1.

 

- O maior divisor de um número inteiro N qualquer é |N|.

 

- O número 1 é divisor de todos os números inteiros. O número 1 é o divisor universal.

Aqui serão usados exemplos de algumas regras mais conhecidas como critérios de divisibilidade, tais como: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 17.

* Critérios de divisibilidade

 

Abaixo serão listados alguns critérios de divisibilidade mais comuns, bem como exemplos práticos de fixação.

- Divisão por 2

Um certo número é divisível por 2, sempre que o algarismo das unidades forem os números (0,2,4,6 ou 8).

Em resumo: quando o número termina com os números (0,2,4,6,8).

Exemplos de fixação:

O número 410 >>>> é divisível por 2, pois termina em 0, resultado = 205

O número 512 >>>> é divisível por 2, pois termina em 2, resultado = 256

O número 354 >>>> é divisível por 2, pois termina em 4, resultado = 177

O número 786 >>>> é divisível por 2, pois termina em 6, resultado = 393

O número 188 >>>> é divisível por 2, pois termina em 8, resultado = 94

- Divisão por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma total dos seus algarismos também for divisível por 3.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 3.

 

Exemplos de fixação:

O número 573 >>> soma-se ( 5 + 7 + 3 = 15, que é divisível por 3), então 573÷3 = 191

O número 972 >>> soma-se ( 9 + 7 + 2 = 18, que é divisível por 3), então 972÷3 = 324

O número 10008 >>> soma-se ( 1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9, que é divisível por 3),

então 10008÷3 = 3336

- Divisão por 4

Um número qualquer é considerado divisível por 4, quando a soma dos seus dois últimos algarismos forma um número divisível por 4.

Em resumo: A soma dos dois últimos números deve ser divisível por 4.

Exemplos de fixação:

O número 6596 >>> os dois últimos algarismos 96 é divisível por 4, resultado 6596÷4 = 1649

O número 7844 >>> os dois últimos algarismos 44 é divisível por 4, resultado 7844÷4 = 1961

O número 1556 >>> os dois últimos algarismos 56 é divisível por 4, resultado 1556÷4 = 389

- Divisão por 5

Um número é divisível por 5, todas as vezes que o algarismo das unidades numéricas forem iguais a 0 ou 5.

Em resumo: Todas as vezes que o número terminar com 0 ou 5.

Exemplos de fixação:

O número 1250 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 1250÷5 = 250

O número 5555 >>>> tem sua terminação em 5, resultado 5555÷5 = 1111

O número 3650 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 3650÷5 = 730

- Divisão por 6

Um número pode ser considerado divisível por 6, quando este for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Em resumo: O número tem que ser divisível pelo número 2 e 3.

Exemplos de fixação:

O número 36 >>>> temos 36÷2 = 18 e 36÷3 = 12, assim o resultado 36÷6 = 6

O número 72 >>>> temos 72÷2 = 36 e 72÷3 = 24, assim o resultado 72÷6 = 12

O número 84 >>>> temos 84÷2 = 42 e 84÷3 = 28, assim o resultado 84÷6 = 14

- Divisão por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7.

Em resumo: Se pega o último algarismo e calcula o seu dobro, diminui este resultado do restante da formação do número.

Exemplos de fixação:

O número 819 >>>> temos 9 x 2 = 18, 81 – 18 = 63 (que é divisível por 7), assim o resultado de 819÷7 = 63

O número 784 >>>> temos 4 x 2 = 8, 78 – 8 = 70 (que é divisível por 7), assim o resultado de 784÷7 = 112

O número 903 >>>> temos 3 x 2 = 6, 90 – 6 = 84 (que é divisível por 7), assim o resultado de 903÷7 = 129

- Divisão por 8

Um certo número é divisível por 8 quando a formação dos seus 03 últimos algarismos formarem um número que seja divisível por 8.

Em resumo: Os 03 últimos números tem que ser divisível por 8.

Exemplos de fixação:

 

O número 1960 >>>> temos 960÷8 = 120, assim o resultado de 1960÷8 = 245

O número 1400 >>>> temos 400÷8 = 50, assim o resultado de 1400÷8 = 175

- Divisão por 9

Um número é divisível por 9, quando a soma absoluta dos números que o compõem é também divisível por 9.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 9.

Exemplos de fixação:

O número 5463 >>>> temos (5 + 4 + 6 + 3 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 5463÷9 = 607

O número 2259 >>>> temos (2 + 2 + 5 + 9 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 2259÷9 = 251

- Divisão por 10, 100, 1000, 10000 e sucessivamente

Um número é divisível por 10, 1000 ou 10000 ou tantos “ 0” quantos forem a direita, quando o número tiver sua terminação em “ 0” com suas quantidades respectivas de “ 0”.

Em resumo: O número para ser divisível por “10,100 e etc.”, precisa terminar em “ 0”, com suas quantidades respectivas à direita.

Exemplos de fixação:

O número 100 >>>> termina em “0” é divisível por 10 e por 100, o resultado então fica 100÷10=10, 100÷100=1

O número 1000 >>>> termina em “0” é divisível por 10, 100 e por 1000, o resultado então fica 1000÷10 = 100, 1000÷100 = 10, 1000÷1000 = 1

- Divisão por 11

Um número é divisível por 11, quando a soma absoluta dos algarismos de ordem impar e de ordem par, a partir da direita para a esquerda tiver como diferença o número 11.

Em resumo: Soma-se o número em ordem alternativa da direita para a esquerda e a diferença deve ser 11.

Exemplos de fixação:

O número 14927 ( 1ª soma: 7 + 9 + 1 = 17, 2ª soma : 2 + 4 = 6, então 17 – 6 = 11), assim o resultado 14927÷11 = 1357

O número 1727 ( 1ª soma: 7 + 7 = 14, 2ª soma: 2 + 1 = 3, então 14 – 3 = 11), assim o resultado 1727÷11 = 157

- Divisão por 17

Um número é divisível por 17 quanto o quíntuplo do ultimo algarismo, subtraído do número que não contem este último algarismo, tiver como resultado um número que é dividido por 17. Caso o número obtido ainda for grande, o processo é repetido, até que a divisão de o resultado 17.

Em resumo: Tira-se o último algarismo e multiplica por 5 e subtrai do restante do número sem o respectivo número que foi multiplicado.

O número 19074 >>>> ( 4 x 5 = 20, 1907 – 20 = 1887, 7 x 5 = 35, 188 – 35 = 153, 3 x 5 = 15, 15 -15 = 0), assim 19074÷17=1122

O número 221 >>>> ( 1 x 5 = 5, 22 – 5 = 17), assim 221÷17=13

O número 238 >>>> ( 8 x 5 = 40, 23 – 40 = -17), apesar de ser negativo é divisível por 17, assim 238÷17=14.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.

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